Theorem elfzom1elp1fzo 9211

Description: Membership of an integer incremented by one in a half-open range of nonnegative integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-Jun-2018.) (Proof shortened by AV, 5-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
elfzom1elp1fzo	|- ( ( N e. ZZ /\ I e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) -> ( I + 1 ) e. ( 0..^ N ) )

Proof of Theorem elfzom1elp1fzo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzofz 9171	. . . . . . 7 |- ( I e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) -> I e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) )
2		elfzuz2 9048	. . . . . . 7 |- ( I e. ( 0 ... ( N - 1 ) ) -> ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
3		elnn0uz 8656	. . . . . . . 8 |- ( ( N - 1 ) e. NN0 <-> ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
4		zcn 8356	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
5	4	anim1i 333	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. ZZ /\ ( N - 1 ) e. NN0 ) -> ( N e. CC /\ ( N - 1 ) e. NN0 ) )
6		elnnnn0 8331	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN <-> ( N e. CC /\ ( N - 1 ) e. NN0 ) )
7	5, 6	sylibr 132	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ ( N - 1 ) e. NN0 ) -> N e. NN )
8	7	expcom 114	. . . . . . . 8 |- ( ( N - 1 ) e. NN0 -> ( N e. ZZ -> N e. NN ) )
9	3, 8	sylbir 133	. . . . . . 7 |- ( ( N - 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( N e. ZZ -> N e. NN ) )
10	1, 2, 9	3syl 17	. . . . . 6 |- ( I e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) -> ( N e. ZZ -> N e. NN ) )
11	10	impcom 123	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ I e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) -> N e. NN )
12		1nn0 8304	. . . . . . 7 |- 1 e. NN0
13	12	a1i 9	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> 1 e. NN0 )
14		nnnn0 8295	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
15		nnge1 8062	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> 1 <_ N )
16	13, 14, 15	3jca 1118	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( 1 e. NN0 /\ N e. NN0 /\ 1 <_ N ) )
17	11, 16	syl 14	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ I e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) -> ( 1 e. NN0 /\ N e. NN0 /\ 1 <_ N ) )
18		elfz2nn0 9128	. . . 4 |- ( 1 e. ( 0 ... N ) <-> ( 1 e. NN0 /\ N e. NN0 /\ 1 <_ N ) )
19	17, 18	sylibr 132	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ I e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) -> 1 e. ( 0 ... N ) )
20		fzossrbm1 9182	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> ( 0..^ ( N - 1 ) ) C_ ( 0..^ N ) )
21	20	adantr 270	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ I e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) -> ( 0..^ ( N - 1 ) ) C_ ( 0..^ N ) )
22		fzossfz 9174	. . . . . 6 |- ( 0..^ N ) C_ ( 0 ... N )
23	21, 22	syl6ss 3011	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ I e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) -> ( 0..^ ( N - 1 ) ) C_ ( 0 ... N ) )
24		simpr 108	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ I e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) -> I e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) )
25	23, 24	jca 300	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ I e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) -> ( ( 0..^ ( N - 1 ) ) C_ ( 0 ... N ) /\ I e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) )
26		ssel2 2994	. . . 4 |- ( ( ( 0..^ ( N - 1 ) ) C_ ( 0 ... N ) /\ I e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) -> I e. ( 0 ... N ) )
27		elfzubelfz 9055	. . . 4 |- ( I e. ( 0 ... N ) -> N e. ( 0 ... N ) )
28	25, 26, 27	3syl 17	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ I e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) -> N e. ( 0 ... N ) )
29	19, 28	jca 300	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ I e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) -> ( 1 e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... N ) ) )
30		elfzodifsumelfzo 9210	. 2 |- ( ( 1 e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... N ) ) -> ( I e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) -> ( I + 1 ) e. ( 0..^ N ) ) )
31	29, 24, 30	sylc 61	1 |- ( ( N e. ZZ /\ I e. ( 0..^ ( N - 1 ) ) ) -> ( I + 1 ) e. ( 0..^ N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   /\ w3a 919   e. wcel 1433   C_ wss 2973   class class class wbr 3785   ` cfv 4922  (class class class)co 5532   CCcc 6979   0cc0 6981   1c1 6982   + caddc 6984   <_ cle 7154   - cmin 7279   NNcn 8039   NN0cn0 8288   ZZcz 8351   ZZ>=cuz 8619   ...cfz 9029  ..^cfzo 9152

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-addcom 7076  ax-addass 7078  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-ltadd 7092

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-inn 8040  df-n0 8289  df-z 8352  df-uz 8620  df-fz 9030  df-fzo 9153

This theorem is referenced by: (None)