Theorem f1od 5723

Description: Describe an implicit one-to-one onto function. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
f1od.1	|- F = ( x e. A |-> C )
f1od.2	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> C e. W )
f1od.3	|- ( ( ph /\ y e. B ) -> D e. X )
f1od.4	|- ( ph -> ( ( x e. A /\ y = C ) <-> ( y e. B /\ x = D ) ) )

Assertion

Ref	Expression
f1od	|- ( ph -> F : A -1-1-onto-> B )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   y, C   x, D   ph, x, y

Allowed substitution hints:   C( x)   D( y)   F( x, y)   W( x, y)   X( x, y)

Proof of Theorem f1od

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1od.1	. . 3 |- F = ( x e. A |-> C )
2		f1od.2	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> C e. W )
3		f1od.3	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. B ) -> D e. X )
4		f1od.4	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. A /\ y = C ) <-> ( y e. B /\ x = D ) ) )
5	1, 2, 3, 4	f1ocnvd 5722	. 2 |- ( ph -> ( F : A -1-1-onto-> B /\ `' F = ( y e. B |-> D ) ) )
6	5	simpld 110	1 |- ( ph -> F : A -1-1-onto-> B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   = wceq 1284   e. wcel 1433   |-> cmpt 3839   `'ccnv 4362   -1-1-onto->wf1o 4921

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929

This theorem is referenced by:  cnvf1o  5866  en2d  6271