Theorem cnvf1o 5866

Description: Describe a function that maps the elements of a set to its converse bijectively. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cnvf1o	|- ( Rel A -> ( x e. A |-> U. `' { x } ) : A -1-1-onto-> `' A )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem cnvf1o

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2081	. 2 |- ( x e. A |-> U. `' { x } ) = ( x e. A |-> U. `' { x } )
2		snexg 3956	. . . 4 |- ( x e. A -> { x } e. _V )
3		cnvexg 4875	. . . 4 |- ( { x } e. _V -> `' { x } e. _V )
4		uniexg 4193	. . . 4 |- ( `' { x } e. _V -> U. `' { x } e. _V )
5	2, 3, 4	3syl 17	. . 3 |- ( x e. A -> U. `' { x } e. _V )
6	5	adantl 271	. 2 |- ( ( Rel A /\ x e. A ) -> U. `' { x } e. _V )
7		snexg 3956	. . . 4 |- ( y e. `' A -> { y } e. _V )
8		cnvexg 4875	. . . 4 |- ( { y } e. _V -> `' { y } e. _V )
9		uniexg 4193	. . . 4 |- ( `' { y } e. _V -> U. `' { y } e. _V )
10	7, 8, 9	3syl 17	. . 3 |- ( y e. `' A -> U. `' { y } e. _V )
11	10	adantl 271	. 2 |- ( ( Rel A /\ y e. `' A ) -> U. `' { y } e. _V )
12		cnvf1olem 5865	. . 3 |- ( ( Rel A /\ ( x e. A /\ y = U. `' { x } ) ) -> ( y e. `' A /\ x = U. `' { y } ) )
13		relcnv 4723	. . . . 5 |- Rel `' A
14		simpr 108	. . . . 5 |- ( ( Rel A /\ ( y e. `' A /\ x = U. `' { y } ) ) -> ( y e. `' A /\ x = U. `' { y } ) )
15		cnvf1olem 5865	. . . . 5 |- ( ( Rel `' A /\ ( y e. `' A /\ x = U. `' { y } ) ) -> ( x e. `' `' A /\ y = U. `' { x } ) )
16	13, 14, 15	sylancr 405	. . . 4 |- ( ( Rel A /\ ( y e. `' A /\ x = U. `' { y } ) ) -> ( x e. `' `' A /\ y = U. `' { x } ) )
17		dfrel2 4791	. . . . . . 7 |- ( Rel A <-> `' `' A = A )
18		eleq2 2142	. . . . . . 7 |- ( `' `' A = A -> ( x e. `' `' A <-> x e. A ) )
19	17, 18	sylbi 119	. . . . . 6 |- ( Rel A -> ( x e. `' `' A <-> x e. A ) )
20	19	anbi1d 452	. . . . 5 |- ( Rel A -> ( ( x e. `' `' A /\ y = U. `' { x } ) <-> ( x e. A /\ y = U. `' { x } ) ) )
21	20	adantr 270	. . . 4 |- ( ( Rel A /\ ( y e. `' A /\ x = U. `' { y } ) ) -> ( ( x e. `' `' A /\ y = U. `' { x } ) <-> ( x e. A /\ y = U. `' { x } ) ) )
22	16, 21	mpbid 145	. . 3 |- ( ( Rel A /\ ( y e. `' A /\ x = U. `' { y } ) ) -> ( x e. A /\ y = U. `' { x } ) )
23	12, 22	impbida 560	. 2 |- ( Rel A -> ( ( x e. A /\ y = U. `' { x } ) <-> ( y e. `' A /\ x = U. `' { y } ) ) )
24	1, 6, 11, 23	f1od 5723	1 |- ( Rel A -> ( x e. A |-> U. `' { x } ) : A -1-1-onto-> `' A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   = wceq 1284   e. wcel 1433   _Vcvv 2601   {csn 3398   U.cuni 3601   |-> cmpt 3839   `'ccnv 4362   Rel wrel 4368   -1-1-onto->wf1o 4921

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-sbc 2816  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-1st 5787  df-2nd 5788

This theorem is referenced by:  tposf12  5907  cnven  6311  xpcomf1o  6322