Theorem f1opw 5727

Description: A one-to-one mapping induces a one-to-one mapping on power sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
f1opw	|- ( F : A -1-1-onto-> B -> ( b e. ~P A |-> ( F " b ) ) : ~P A -1-1-onto-> ~P B )

Distinct variable groups:   A, b   B, b   F, b

Proof of Theorem f1opw

Dummy variable a is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. 2 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> F : A -1-1-onto-> B )
2		dff1o3 5152	. . . 4 |- ( F : A -1-1-onto-> B <-> ( F : A -onto-> B /\ Fun `' F ) )
3	2	simprbi 269	. . 3 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> Fun `' F )
4		vex 2604	. . . 4 |- a e. _V
5	4	funimaex 5004	. . 3 |- ( Fun `' F -> ( `' F " a ) e. _V )
6	3, 5	syl 14	. 2 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> ( `' F " a ) e. _V )
7		f1ofun 5148	. . 3 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> Fun F )
8		vex 2604	. . . 4 |- b e. _V
9	8	funimaex 5004	. . 3 |- ( Fun F -> ( F " b ) e. _V )
10	7, 9	syl 14	. 2 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> ( F " b ) e. _V )
11	1, 6, 10	f1opw2 5726	1 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> ( b e. ~P A |-> ( F " b ) ) : ~P A -1-1-onto-> ~P B )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1433   _Vcvv 2601   ~Pcpw 3382   |-> cmpt 3839   `'ccnv 4362   "cima 4366   Fun wfun 4916   -onto->wfo 4920   -1-1-onto->wf1o 4921

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929

This theorem is referenced by: (None)