Theorem fovcl 5626

Description: Closure law for an operation. (Contributed by NM, 19-Apr-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
fovcl.1	|- F : ( R X. S ) --> C

Assertion

Ref	Expression
fovcl	|- ( ( A e. R /\ B e. S ) -> ( A F B ) e. C )

Proof of Theorem fovcl

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fovcl.1	. . 3 |- F : ( R X. S ) --> C
2		ffnov 5625	. . . 4 |- ( F : ( R X. S ) --> C <-> ( F Fn ( R X. S ) /\ A. x e. R A. y e. S ( x F y ) e. C ) )
3	2	simprbi 269	. . 3 |- ( F : ( R X. S ) --> C -> A. x e. R A. y e. S ( x F y ) e. C )
4	1, 3	ax-mp 7	. 2 |- A. x e. R A. y e. S ( x F y ) e. C
5		oveq1 5539	. . . 4 |- ( x = A -> ( x F y ) = ( A F y ) )
6	5	eleq1d 2147	. . 3 |- ( x = A -> ( ( x F y ) e. C <-> ( A F y ) e. C ) )
7		oveq2 5540	. . . 4 |- ( y = B -> ( A F y ) = ( A F B ) )
8	7	eleq1d 2147	. . 3 |- ( y = B -> ( ( A F y ) e. C <-> ( A F B ) e. C ) )
9	6, 8	rspc2v 2713	. 2 |- ( ( A e. R /\ B e. S ) -> ( A. x e. R A. y e. S ( x F y ) e. C -> ( A F B ) e. C ) )
10	4, 9	mpi 15	1 |- ( ( A e. R /\ B e. S ) -> ( A F B ) e. C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   = wceq 1284   e. wcel 1433   A.wral 2348   X. cxp 4361   Fn wfn 4917   -->wf 4918  (class class class)co 5532

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-fv 4930  df-ov 5535

This theorem is referenced by:  ixxssxr  8923  fzof  9154  elfzoelz  9157  fzoval  9158