Theorem funoprabg 5620

Description: "At most one" is a sufficient condition for an operation class abstraction to be a function. (Contributed by NM, 28-Aug-2007.)

Assertion

Ref	Expression
funoprabg	|- ( A. x A. y E* z ph -> Fun { <. <. x , y >. , z >. | ph } )

Distinct variable group:   x, y, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z)

Proof of Theorem funoprabg

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mosubopt 4423	. . 3 |- ( A. x A. y E* z ph -> E* z E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) )
2	1	alrimiv 1795	. 2 |- ( A. x A. y E* z ph -> A. w E* z E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) )
3		dfoprab2 5572	. . . 4 |- { <. <. x , y >. , z >. | ph } = { <. w , z >. | E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) }
4	3	funeqi 4942	. . 3 |- ( Fun { <. <. x , y >. , z >. | ph } <-> Fun { <. w , z >. | E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) } )
5		funopab 4955	. . 3 |- ( Fun { <. w , z >. | E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) } <-> A. w E* z E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) )
6	4, 5	bitr2i 183	. 2 |- ( A. w E* z E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) <-> Fun { <. <. x , y >. , z >. | ph } )
7	2, 6	sylib 120	1 |- ( A. x A. y E* z ph -> Fun { <. <. x , y >. , z >. | ph } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   A.wal 1282   = wceq 1284   E.wex 1421   E*wmo 1942   <.cop 3401   {copab 3838   Fun wfun 4916   {coprab 5533

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-br 3786  df-opab 3840  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-fun 4924  df-oprab 5536

This theorem is referenced by:  funoprab  5621  fnoprabg  5622  oprabexd  5774