Theorem fzo0to3tp 9228

Description: A half-open integer range from 0 to 3 is an unordered triple. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Nov-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fzo0to3tp	|- ( 0..^ 3 ) = { 0 , 1 , 2 }

Proof of Theorem fzo0to3tp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3z 8380	. . 3 |- 3 e. ZZ
2		fzoval 9158	. . 3 |- ( 3 e. ZZ -> ( 0..^ 3 ) = ( 0 ... ( 3 - 1 ) ) )
3	1, 2	ax-mp 7	. 2 |- ( 0..^ 3 ) = ( 0 ... ( 3 - 1 ) )
4		3m1e2 8158	. . . 4 |- ( 3 - 1 ) = 2
5		2cn 8110	. . . . 5 |- 2 e. CC
6	5	addid2i 7251	. . . 4 |- ( 0 + 2 ) = 2
7	4, 6	eqtr4i 2104	. . 3 |- ( 3 - 1 ) = ( 0 + 2 )
8	7	oveq2i 5543	. 2 |- ( 0 ... ( 3 - 1 ) ) = ( 0 ... ( 0 + 2 ) )
9		0z 8362	. . 3 |- 0 e. ZZ
10		fztp 9095	. . . 4 |- ( 0 e. ZZ -> ( 0 ... ( 0 + 2 ) ) = { 0 , ( 0 + 1 ) , ( 0 + 2 ) } )
11		eqidd 2082	. . . . 5 |- ( 0 e. ZZ -> 0 = 0 )
12		0p1e1 8153	. . . . . 6 |- ( 0 + 1 ) = 1
13	12	a1i 9	. . . . 5 |- ( 0 e. ZZ -> ( 0 + 1 ) = 1 )
14	6	a1i 9	. . . . 5 |- ( 0 e. ZZ -> ( 0 + 2 ) = 2 )
15	11, 13, 14	tpeq123d 3484	. . . 4 |- ( 0 e. ZZ -> { 0 , ( 0 + 1 ) , ( 0 + 2 ) } = { 0 , 1 , 2 } )
16	10, 15	eqtrd 2113	. . 3 |- ( 0 e. ZZ -> ( 0 ... ( 0 + 2 ) ) = { 0 , 1 , 2 } )
17	9, 16	ax-mp 7	. 2 |- ( 0 ... ( 0 + 2 ) ) = { 0 , 1 , 2 }
18	3, 8, 17	3eqtri 2105	1 |- ( 0..^ 3 ) = { 0 , 1 , 2 }

Syntax hints:   = wceq 1284   e. wcel 1433   {ctp 3400  (class class class)co 5532   0cc0 6981   1c1 6982   + caddc 6984   - cmin 7279   2c2 8089   3c3 8090   ZZcz 8351   ...cfz 9029  ..^cfzo 9152

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-addcom 7076  ax-addass 7078  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-apti 7091  ax-pre-ltadd 7092

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-tp 3406  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-inn 8040  df-2 8098  df-3 8099  df-n0 8289  df-z 8352  df-uz 8620  df-fz 9030  df-fzo 9153

This theorem is referenced by: (None)