Theorem iccssioo2 8969

Description: Condition for a closed interval to be a subset of an open interval. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
iccssioo2	|- ( ( C e. ( A (,) B ) /\ D e. ( A (,) B ) ) -> ( C [,] D ) C_ ( A (,) B ) )

Proof of Theorem iccssioo2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eliooxr 8950	. . 3 |- ( C e. ( A (,) B ) -> ( A e. RR* /\ B e. RR* ) )
2	1	adantr 270	. 2 |- ( ( C e. ( A (,) B ) /\ D e. ( A (,) B ) ) -> ( A e. RR* /\ B e. RR* ) )
3		eliooord 8951	. . . 4 |- ( C e. ( A (,) B ) -> ( A < C /\ C < B ) )
4	3	adantr 270	. . 3 |- ( ( C e. ( A (,) B ) /\ D e. ( A (,) B ) ) -> ( A < C /\ C < B ) )
5	4	simpld 110	. 2 |- ( ( C e. ( A (,) B ) /\ D e. ( A (,) B ) ) -> A < C )
6		eliooord 8951	. . . 4 |- ( D e. ( A (,) B ) -> ( A < D /\ D < B ) )
7	6	adantl 271	. . 3 |- ( ( C e. ( A (,) B ) /\ D e. ( A (,) B ) ) -> ( A < D /\ D < B ) )
8	7	simprd 112	. 2 |- ( ( C e. ( A (,) B ) /\ D e. ( A (,) B ) ) -> D < B )
9		iccssioo 8965	. 2 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( A < C /\ D < B ) ) -> ( C [,] D ) C_ ( A (,) B ) )
10	2, 5, 8, 9	syl12anc 1167	1 |- ( ( C e. ( A (,) B ) /\ D e. ( A (,) B ) ) -> ( C [,] D ) C_ ( A (,) B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   e. wcel 1433   C_ wss 2973   class class class wbr 3785  (class class class)co 5532   RR*cxr 7152   < clt 7153   (,)cioo 8911   [,]cicc 8914

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-opab 3840  df-id 4048  df-po 4051  df-iso 4052  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fv 4930  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-ioo 8915  df-icc 8918

This theorem is referenced by: (None)