Theorem indifdir 3220

Description: Distribute intersection over difference. (Contributed by Scott Fenton, 14-Apr-2011.)

Assertion

Ref	Expression
indifdir	|- ( ( A \ B ) i^i C ) = ( ( A i^i C ) \ ( B i^i C ) )

Proof of Theorem indifdir

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3155	. . . 4 |- ( x e. ( A i^i C ) <-> ( x e. A /\ x e. C ) )
2		elin 3155	. . . . 5 |- ( x e. ( B i^i C ) <-> ( x e. B /\ x e. C ) )
3	2	notbii 626	. . . 4 |- ( -. x e. ( B i^i C ) <-> -. ( x e. B /\ x e. C ) )
4	1, 3	anbi12i 447	. . 3 |- ( ( x e. ( A i^i C ) /\ -. x e. ( B i^i C ) ) <-> ( ( x e. A /\ x e. C ) /\ -. ( x e. B /\ x e. C ) ) )
5		eldif 2982	. . 3 |- ( x e. ( ( A i^i C ) \ ( B i^i C ) ) <-> ( x e. ( A i^i C ) /\ -. x e. ( B i^i C ) ) )
6		elin 3155	. . . . 5 |- ( x e. ( ( A \ B ) i^i C ) <-> ( x e. ( A \ B ) /\ x e. C ) )
7		eldif 2982	. . . . . 6 |- ( x e. ( A \ B ) <-> ( x e. A /\ -. x e. B ) )
8	7	anbi1i 445	. . . . 5 |- ( ( x e. ( A \ B ) /\ x e. C ) <-> ( ( x e. A /\ -. x e. B ) /\ x e. C ) )
9	6, 8	bitri 182	. . . 4 |- ( x e. ( ( A \ B ) i^i C ) <-> ( ( x e. A /\ -. x e. B ) /\ x e. C ) )
10		an32 526	. . . . 5 |- ( ( ( x e. A /\ -. x e. B ) /\ x e. C ) <-> ( ( x e. A /\ x e. C ) /\ -. x e. B ) )
11		simpl 107	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. B /\ x e. C ) -> x e. B )
12	11	con3i 594	. . . . . . 7 |- ( -. x e. B -> -. ( x e. B /\ x e. C ) )
13	12	anim2i 334	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. A /\ x e. C ) /\ -. x e. B ) -> ( ( x e. A /\ x e. C ) /\ -. ( x e. B /\ x e. C ) ) )
14		simpl 107	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. A /\ x e. C ) /\ -. ( x e. B /\ x e. C ) ) -> ( x e. A /\ x e. C ) )
15		ax-in2 577	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. ( x e. B /\ x e. C ) -> ( ( x e. B /\ x e. C ) -> F. ) )
16	15	expcomd 1370	. . . . . . . . . 10 |- ( -. ( x e. B /\ x e. C ) -> ( x e. C -> ( x e. B -> F. ) ) )
17	16	impcom 123	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. C /\ -. ( x e. B /\ x e. C ) ) -> ( x e. B -> F. ) )
18		dfnot 1302	. . . . . . . . 9 |- ( -. x e. B <-> ( x e. B -> F. ) )
19	17, 18	sylibr 132	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. C /\ -. ( x e. B /\ x e. C ) ) -> -. x e. B )
20	19	adantll 459	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. A /\ x e. C ) /\ -. ( x e. B /\ x e. C ) ) -> -. x e. B )
21	14, 20	jca 300	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. A /\ x e. C ) /\ -. ( x e. B /\ x e. C ) ) -> ( ( x e. A /\ x e. C ) /\ -. x e. B ) )
22	13, 21	impbii 124	. . . . 5 |- ( ( ( x e. A /\ x e. C ) /\ -. x e. B ) <-> ( ( x e. A /\ x e. C ) /\ -. ( x e. B /\ x e. C ) ) )
23	10, 22	bitri 182	. . . 4 |- ( ( ( x e. A /\ -. x e. B ) /\ x e. C ) <-> ( ( x e. A /\ x e. C ) /\ -. ( x e. B /\ x e. C ) ) )
24	9, 23	bitri 182	. . 3 |- ( x e. ( ( A \ B ) i^i C ) <-> ( ( x e. A /\ x e. C ) /\ -. ( x e. B /\ x e. C ) ) )
25	4, 5, 24	3bitr4ri 211	. 2 |- ( x e. ( ( A \ B ) i^i C ) <-> x e. ( ( A i^i C ) \ ( B i^i C ) ) )
26	25	eqriv 2078	1 |- ( ( A \ B ) i^i C ) = ( ( A i^i C ) \ ( B i^i C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 102   = wceq 1284   F. wfal 1289   e. wcel 1433   \ cdif 2970   i^i cin 2972

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-v 2603  df-dif 2975  df-in 2979

This theorem is referenced by: (None)