Theorem infmoti 6441

Description: Any class B has at most one infimum in A (where R is interpreted as 'less than'). (Contributed by Jim Kingdon, 18-Dec-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
infmoti.ti	|- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) )

Assertion

Ref	Expression
infmoti	|- ( ph -> E* x e. A ( A. y e. B -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) )

Distinct variable groups:   v, u, x, y, z, A   u, R, v, x, y, z   u, B, v, x, y, z   ph, u, v, x

Allowed substitution hints:   ph( y, z)

Proof of Theorem infmoti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infmoti.ti	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) )
2	1	cnvti 6432	. . 3 |- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u `' R v /\ -. v `' R u ) ) )
3	2	supmoti 6406	. 2 |- ( ph -> E* x e. A ( A. y e. B -. x `' R y /\ A. y e. A ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) ) )
4		vex 2604	. . . . . . 7 |- x e. _V
5		vex 2604	. . . . . . 7 |- y e. _V
6	4, 5	brcnv 4536	. . . . . 6 |- ( x `' R y <-> y R x )
7	6	notbii 626	. . . . 5 |- ( -. x `' R y <-> -. y R x )
8	7	ralbii 2372	. . . 4 |- ( A. y e. B -. x `' R y <-> A. y e. B -. y R x )
9	5, 4	brcnv 4536	. . . . . 6 |- ( y `' R x <-> x R y )
10		vex 2604	. . . . . . . 8 |- z e. _V
11	5, 10	brcnv 4536	. . . . . . 7 |- ( y `' R z <-> z R y )
12	11	rexbii 2373	. . . . . 6 |- ( E. z e. B y `' R z <-> E. z e. B z R y )
13	9, 12	imbi12i 237	. . . . 5 |- ( ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) <-> ( x R y -> E. z e. B z R y ) )
14	13	ralbii 2372	. . . 4 |- ( A. y e. A ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) <-> A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) )
15	8, 14	anbi12i 447	. . 3 |- ( ( A. y e. B -. x `' R y /\ A. y e. A ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) ) <-> ( A. y e. B -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) )
16	15	rmobii 2544	. 2 |- ( E* x e. A ( A. y e. B -. x `' R y /\ A. y e. A ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) ) <-> E* x e. A ( A. y e. B -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) )
17	3, 16	sylib 120	1 |- ( ph -> E* x e. A ( A. y e. B -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   e. wcel 1433   A.wral 2348   E.wrex 2349   E*wrmo 2351   class class class wbr 3785   `'ccnv 4362

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-rmo 2356  df-v 2603  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-br 3786  df-opab 3840  df-cnv 4371

This theorem is referenced by:  infeuti  6442