Theorem infvalti 6435

Description: Alternate expression for the infimum. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqinfti.ti	|- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) )
infvalti.ex	|- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. B -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) )

Assertion

Ref	Expression
infvalti	|- ( ph -> inf ( B , A , R ) = ( iota_ x e. A ( A. y e. B -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) ) )

Distinct variable groups:   u, A, v, y, z   ph, u, v   u, R, v, y, z   u, B, v, y, z   x, A   x, B   x, R   ph, x, y, z, u, v

Proof of Theorem infvalti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-inf 6398	. 2 |- inf ( B , A , R ) = sup ( B , A , `' R )
2		eqinfti.ti	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) )
3	2	cnvti 6432	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u `' R v /\ -. v `' R u ) ) )
4		infvalti.ex	. . . . 5 |- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. B -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) )
5	4	cnvinfex 6431	. . . 4 |- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. B -. x `' R y /\ A. y e. A ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) ) )
6	3, 5	supval2ti 6408	. . 3 |- ( ph -> sup ( B , A , `' R ) = ( iota_ x e. A ( A. y e. B -. x `' R y /\ A. y e. A ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) ) ) )
7		vex 2604	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
8		vex 2604	. . . . . . . . 9 |- y e. _V
9	7, 8	brcnv 4536	. . . . . . . 8 |- ( x `' R y <-> y R x )
10	9	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x `' R y <-> y R x ) )
11	10	notbid 624	. . . . . 6 |- ( ph -> ( -. x `' R y <-> -. y R x ) )
12	11	ralbidv 2368	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. y e. B -. x `' R y <-> A. y e. B -. y R x ) )
13	8, 7	brcnv 4536	. . . . . . . 8 |- ( y `' R x <-> x R y )
14	13	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( y `' R x <-> x R y ) )
15		vex 2604	. . . . . . . . . 10 |- z e. _V
16	8, 15	brcnv 4536	. . . . . . . . 9 |- ( y `' R z <-> z R y )
17	16	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( y `' R z <-> z R y ) )
18	17	rexbidv 2369	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E. z e. B y `' R z <-> E. z e. B z R y ) )
19	14, 18	imbi12d 232	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) <-> ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) )
20	19	ralbidv 2368	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. y e. A ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) <-> A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) )
21	12, 20	anbi12d 456	. . . 4 |- ( ph -> ( ( A. y e. B -. x `' R y /\ A. y e. A ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) ) <-> ( A. y e. B -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) ) )
22	21	riotabidv 5490	. . 3 |- ( ph -> ( iota_ x e. A ( A. y e. B -. x `' R y /\ A. y e. A ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) ) ) = ( iota_ x e. A ( A. y e. B -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) ) )
23	6, 22	eqtrd 2113	. 2 |- ( ph -> sup ( B , A , `' R ) = ( iota_ x e. A ( A. y e. B -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) ) )
24	1, 23	syl5eq 2125	1 |- ( ph -> inf ( B , A , R ) = ( iota_ x e. A ( A. y e. B -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   = wceq 1284   e. wcel 1433   A.wral 2348   E.wrex 2349   class class class wbr 3785   `'ccnv 4362   iota_crio 5487   supcsup 6395  infcinf 6396

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rmo 2356  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-opab 3840  df-cnv 4371  df-iota 4887  df-riota 5488  df-sup 6397  df-inf 6398

This theorem is referenced by: (None)