Theorem eqinftid 6434

Description: Sufficient condition for an element to be equal to the infimum. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqinfti.ti	|- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) )
eqinftid.2	|- ( ph -> C e. A )
eqinftid.3	|- ( ( ph /\ y e. B ) -> -. y R C )
eqinftid.4	|- ( ( ph /\ ( y e. A /\ C R y ) ) -> E. z e. B z R y )

Assertion

Ref	Expression
eqinftid	|- ( ph -> inf ( B , A , R ) = C )

Distinct variable groups:   u, A, v, y, z   ph, u, v   u, R, v, y, z   u, B, v, y, z   u, C, v, y, z   ph, y

Allowed substitution hint:   ph( z)

Proof of Theorem eqinftid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqinftid.2	. 2 |- ( ph -> C e. A )
2		eqinftid.3	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. B ) -> -. y R C )
3	2	ralrimiva 2434	. 2 |- ( ph -> A. y e. B -. y R C )
4		eqinftid.4	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( y e. A /\ C R y ) ) -> E. z e. B z R y )
5	4	expr 367	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( C R y -> E. z e. B z R y ) )
6	5	ralrimiva 2434	. 2 |- ( ph -> A. y e. A ( C R y -> E. z e. B z R y ) )
7		eqinfti.ti	. . 3 |- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) )
8	7	eqinfti 6433	. 2 |- ( ph -> ( ( C e. A /\ A. y e. B -. y R C /\ A. y e. A ( C R y -> E. z e. B z R y ) ) -> inf ( B , A , R ) = C ) )
9	1, 3, 6, 8	mp3and 1271	1 |- ( ph -> inf ( B , A , R ) = C )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   = wceq 1284   e. wcel 1433   A.wral 2348   E.wrex 2349   class class class wbr 3785  infcinf 6396

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rmo 2356  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-opab 3840  df-cnv 4371  df-iota 4887  df-riota 5488  df-sup 6397  df-inf 6398

This theorem is referenced by:  infminti  6440