Theorem iseradd 9463

Description: The sum of two infinite series. (Contributed by NM, 17-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 26-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseradd.1	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
iseradd.2	|- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) e. CC )
iseradd.3	|- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` k ) e. CC )
iseradd.4	|- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( H ` k ) = ( ( F ` k ) + ( G ` k ) ) )

Assertion

Ref	Expression
iseradd	|- ( ph -> ( seq M ( + , H , CC ) ` N ) = ( ( seq M ( + , F , CC ) ` N ) + ( seq M ( + , G , CC ) ` N ) ) )

Distinct variable groups:   k, F   k, G   k, M   ph, k   k, H   k, N

Proof of Theorem iseradd

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcl 7098	. . 3 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x + y ) e. CC )
2	1	adantl 271	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( x + y ) e. CC )
3		addcom 7245	. . 3 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x + y ) = ( y + x ) )
4	3	adantl 271	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( x + y ) = ( y + x ) )
5		addass 7103	. . 3 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC /\ z e. CC ) -> ( ( x + y ) + z ) = ( x + ( y + z ) ) )
6	5	adantl 271	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ y e. CC /\ z e. CC ) ) -> ( ( x + y ) + z ) = ( x + ( y + z ) ) )
7		iseradd.1	. 2 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
8		iseradd.2	. 2 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) e. CC )
9		iseradd.3	. 2 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` k ) e. CC )
10		iseradd.4	. 2 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( H ` k ) = ( ( F ` k ) + ( G ` k ) ) )
11		cnex 7097	. . 3 |- CC e. _V
12	11	a1i 9	. 2 |- ( ph -> CC e. _V )
13	2, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 12	iseqcaopr 9462	1 |- ( ph -> ( seq M ( + , H , CC ) ` N ) = ( ( seq M ( + , F , CC ) ` N ) + ( seq M ( + , G , CC ) ` N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   /\ w3a 919   = wceq 1284   e. wcel 1433   _Vcvv 2601   ` cfv 4922  (class class class)co 5532   CCcc 6979   + caddc 6984   ZZ>=cuz 8619   seqcseq 9431

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-addcom 7076  ax-addass 7078  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-ltadd 7092

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-frec 6001  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-inn 8040  df-n0 8289  df-z 8352  df-uz 8620  df-fz 9030  df-fzo 9153  df-iseq 9432

This theorem is referenced by: (None)