Theorem moexexdc 2025

Description: "At most one" double quantification. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Jul-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
moexexdc.1	|- F/ y ph

Assertion

Ref	Expression
moexexdc	|- (DECID E. x ph -> ( ( E* x ph /\ A. x E* y ps ) -> E* y E. x ( ph /\ ps ) ) )

Proof of Theorem moexexdc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dc 776	. 2 |- (DECID E. x ph <-> ( E. x ph \/ -. E. x ph ) )
2		hbmo1 1979	. . . . . 6 |- ( E* x ph -> A. x E* x ph )
3		hba1 1473	. . . . . . 7 |- ( A. x E* y ps -> A. x A. x E* y ps )
4		hbe1 1424	. . . . . . . 8 |- ( E. x ( ph /\ ps ) -> A. x E. x ( ph /\ ps ) )
5	4	hbmo 1980	. . . . . . 7 |- ( E* y E. x ( ph /\ ps ) -> A. x E* y E. x ( ph /\ ps ) )
6	3, 5	hbim 1477	. . . . . 6 |- ( ( A. x E* y ps -> E* y E. x ( ph /\ ps ) ) -> A. x ( A. x E* y ps -> E* y E. x ( ph /\ ps ) ) )
7	2, 6	hbim 1477	. . . . 5 |- ( ( E* x ph -> ( A. x E* y ps -> E* y E. x ( ph /\ ps ) ) ) -> A. x ( E* x ph -> ( A. x E* y ps -> E* y E. x ( ph /\ ps ) ) ) )
8		moexexdc.1	. . . . . . . 8 |- F/ y ph
9	8	nfri 1452	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. y ph )
10	9	hbmo 1980	. . . . . . 7 |- ( E* x ph -> A. y E* x ph )
11		mopick 2019	. . . . . . . . 9 |- ( ( E* x ph /\ E. x ( ph /\ ps ) ) -> ( ph -> ps ) )
12	11	ex 113	. . . . . . . 8 |- ( E* x ph -> ( E. x ( ph /\ ps ) -> ( ph -> ps ) ) )
13	12	com3r 78	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E* x ph -> ( E. x ( ph /\ ps ) -> ps ) ) )
14	9, 10, 13	alrimdh 1408	. . . . . 6 |- ( ph -> ( E* x ph -> A. y ( E. x ( ph /\ ps ) -> ps ) ) )
15		moim 2005	. . . . . . 7 |- ( A. y ( E. x ( ph /\ ps ) -> ps ) -> ( E* y ps -> E* y E. x ( ph /\ ps ) ) )
16	15	spsd 1471	. . . . . 6 |- ( A. y ( E. x ( ph /\ ps ) -> ps ) -> ( A. x E* y ps -> E* y E. x ( ph /\ ps ) ) )
17	14, 16	syl6 33	. . . . 5 |- ( ph -> ( E* x ph -> ( A. x E* y ps -> E* y E. x ( ph /\ ps ) ) ) )
18	7, 17	exlimih 1524	. . . 4 |- ( E. x ph -> ( E* x ph -> ( A. x E* y ps -> E* y E. x ( ph /\ ps ) ) ) )
19	9	hbex 1567	. . . . . . . . 9 |- ( E. x ph -> A. y E. x ph )
20		exsimpl 1548	. . . . . . . . 9 |- ( E. x ( ph /\ ps ) -> E. x ph )
21	19, 20	exlimih 1524	. . . . . . . 8 |- ( E. y E. x ( ph /\ ps ) -> E. x ph )
22	21	con3i 594	. . . . . . 7 |- ( -. E. x ph -> -. E. y E. x ( ph /\ ps ) )
23		mon 1970	. . . . . . 7 |- ( -. E. y E. x ( ph /\ ps ) -> E* y E. x ( ph /\ ps ) )
24	22, 23	syl 14	. . . . . 6 |- ( -. E. x ph -> E* y E. x ( ph /\ ps ) )
25	24	a1d 22	. . . . 5 |- ( -. E. x ph -> ( A. x E* y ps -> E* y E. x ( ph /\ ps ) ) )
26	25	a1d 22	. . . 4 |- ( -. E. x ph -> ( E* x ph -> ( A. x E* y ps -> E* y E. x ( ph /\ ps ) ) ) )
27	18, 26	jaoi 668	. . 3 |- ( ( E. x ph \/ -. E. x ph ) -> ( E* x ph -> ( A. x E* y ps -> E* y E. x ( ph /\ ps ) ) ) )
28	27	impd 251	. 2 |- ( ( E. x ph \/ -. E. x ph ) -> ( ( E* x ph /\ A. x E* y ps ) -> E* y E. x ( ph /\ ps ) ) )
29	1, 28	sylbi 119	1 |- (DECID E. x ph -> ( ( E* x ph /\ A. x E* y ps ) -> E* y E. x ( ph /\ ps ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 102   \/ wo 661  DECID wdc 775   A.wal 1282   F/wnf 1389   E.wex 1421   E*wmo 1942

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945

This theorem is referenced by:  2moswapdc  2031