Theorem mptfng 5044

Description: The maps-to notation defines a function with domain. (Contributed by Scott Fenton, 21-Mar-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
mptfng.1	|- F = ( x e. A |-> B )

Assertion

Ref	Expression
mptfng	|- ( A. x e. A B e. _V <-> F Fn A )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hints:   B( x)   F( x)

Proof of Theorem mptfng

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eueq 2763	. . 3 |- ( B e. _V <-> E! y y = B )
2	1	ralbii 2372	. 2 |- ( A. x e. A B e. _V <-> A. x e. A E! y y = B )
3		mptfng.1	. . . 4 |- F = ( x e. A |-> B )
4		df-mpt 3841	. . . 4 |- ( x e. A |-> B ) = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y = B ) }
5	3, 4	eqtri 2101	. . 3 |- F = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y = B ) }
6	5	fnopabg 5042	. 2 |- ( A. x e. A E! y y = B <-> F Fn A )
7	2, 6	bitri 182	1 |- ( A. x e. A B e. _V <-> F Fn A )

Syntax hints:   /\ wa 102   <-> wb 103   = wceq 1284   e. wcel 1433   E!weu 1941   A.wral 2348   _Vcvv 2601   {copab 3838   |-> cmpt 3839   Fn wfn 4917

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-fun 4924  df-fn 4925

This theorem is referenced by:  fnmpt  5045  fnmpti  5047  mpteqb  5282