Theorem nfsbxyt 1860

Description: Closed form of nfsbxy 1859. (Contributed by Jim Kingdon, 9-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
nfsbxyt	|- ( A. x F/ z ph -> F/ z [ y / x ] ph )

Distinct variable groups:   x, y   y, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z)

Proof of Theorem nfsbxyt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-bndl 1439	. 2 |- ( A. z z = x \/ ( A. z z = y \/ A. x A. z ( x = y -> A. z x = y ) ) )
2		nfs1v 1856	. . . . 5 |- F/ z [ y / z ] ph
3		drsb1 1720	. . . . . 6 |- ( A. z z = x -> ( [ y / z ] ph <-> [ y / x ] ph ) )
4	3	drnf2 1662	. . . . 5 |- ( A. z z = x -> ( F/ z [ y / z ] ph <-> F/ z [ y / x ] ph ) )
5	2, 4	mpbii 146	. . . 4 |- ( A. z z = x -> F/ z [ y / x ] ph )
6	5	a1d 22	. . 3 |- ( A. z z = x -> ( A. x F/ z ph -> F/ z [ y / x ] ph ) )
7		a16nf 1787	. . . . 5 |- ( A. z z = y -> F/ z [ y / x ] ph )
8	7	a1d 22	. . . 4 |- ( A. z z = y -> ( A. x F/ z ph -> F/ z [ y / x ] ph ) )
9		df-nf 1390	. . . . . 6 |- ( F/ z x = y <-> A. z ( x = y -> A. z x = y ) )
10	9	albii 1399	. . . . 5 |- ( A. x F/ z x = y <-> A. x A. z ( x = y -> A. z x = y ) )
11		sb5 1808	. . . . . . 7 |- ( [ y / x ] ph <-> E. x ( x = y /\ ph ) )
12		nfa1 1474	. . . . . . . . 9 |- F/ x A. x F/ z x = y
13		nfa1 1474	. . . . . . . . 9 |- F/ x A. x F/ z ph
14	12, 13	nfan 1497	. . . . . . . 8 |- F/ x ( A. x F/ z x = y /\ A. x F/ z ph )
15		sp 1441	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x F/ z x = y -> F/ z x = y )
16	15	adantr 270	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. x F/ z x = y /\ A. x F/ z ph ) -> F/ z x = y )
17		sp 1441	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x F/ z ph -> F/ z ph )
18	17	adantl 271	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. x F/ z x = y /\ A. x F/ z ph ) -> F/ z ph )
19	16, 18	nfand 1500	. . . . . . . 8 |- ( ( A. x F/ z x = y /\ A. x F/ z ph ) -> F/ z ( x = y /\ ph ) )
20	14, 19	nfexd 1684	. . . . . . 7 |- ( ( A. x F/ z x = y /\ A. x F/ z ph ) -> F/ z E. x ( x = y /\ ph ) )
21	11, 20	nfxfrd 1404	. . . . . 6 |- ( ( A. x F/ z x = y /\ A. x F/ z ph ) -> F/ z [ y / x ] ph )
22	21	ex 113	. . . . 5 |- ( A. x F/ z x = y -> ( A. x F/ z ph -> F/ z [ y / x ] ph ) )
23	10, 22	sylbir 133	. . . 4 |- ( A. x A. z ( x = y -> A. z x = y ) -> ( A. x F/ z ph -> F/ z [ y / x ] ph ) )
24	8, 23	jaoi 668	. . 3 |- ( ( A. z z = y \/ A. x A. z ( x = y -> A. z x = y ) ) -> ( A. x F/ z ph -> F/ z [ y / x ] ph ) )
25	6, 24	jaoi 668	. 2 |- ( ( A. z z = x \/ ( A. z z = y \/ A. x A. z ( x = y -> A. z x = y ) ) ) -> ( A. x F/ z ph -> F/ z [ y / x ] ph ) )
26	1, 25	ax-mp 7	1 |- ( A. x F/ z ph -> F/ z [ y / x ] ph )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   \/ wo 661   A.wal 1282   F/wnf 1389   E.wex 1421   [wsb 1685

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-nf 1390  df-sb 1686

This theorem is referenced by:  nfsbt  1891