Theorem nfand 1500

Description: If in a context x is not free in ps and ch, it is not free in ( ps /\ ch ). (Contributed by Mario Carneiro, 7-Oct-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nfand.1	|- ( ph -> F/ x ps )
nfand.2	|- ( ph -> F/ x ch )

Assertion

Ref	Expression
nfand	|- ( ph -> F/ x ( ps /\ ch ) )

Proof of Theorem nfand

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfand.1	. . . 4 |- ( ph -> F/ x ps )
2		nfand.2	. . . 4 |- ( ph -> F/ x ch )
3	1, 2	jca 300	. . 3 |- ( ph -> ( F/ x ps /\ F/ x ch ) )
4		df-nf 1390	. . . . . 6 |- ( F/ x ps <-> A. x ( ps -> A. x ps ) )
5		df-nf 1390	. . . . . 6 |- ( F/ x ch <-> A. x ( ch -> A. x ch ) )
6	4, 5	anbi12i 447	. . . . 5 |- ( ( F/ x ps /\ F/ x ch ) <-> ( A. x ( ps -> A. x ps ) /\ A. x ( ch -> A. x ch ) ) )
7		19.26 1410	. . . . 5 |- ( A. x ( ( ps -> A. x ps ) /\ ( ch -> A. x ch ) ) <-> ( A. x ( ps -> A. x ps ) /\ A. x ( ch -> A. x ch ) ) )
8	6, 7	bitr4i 185	. . . 4 |- ( ( F/ x ps /\ F/ x ch ) <-> A. x ( ( ps -> A. x ps ) /\ ( ch -> A. x ch ) ) )
9		prth 336	. . . . . 6 |- ( ( ( ps -> A. x ps ) /\ ( ch -> A. x ch ) ) -> ( ( ps /\ ch ) -> ( A. x ps /\ A. x ch ) ) )
10		19.26 1410	. . . . . 6 |- ( A. x ( ps /\ ch ) <-> ( A. x ps /\ A. x ch ) )
11	9, 10	syl6ibr 160	. . . . 5 |- ( ( ( ps -> A. x ps ) /\ ( ch -> A. x ch ) ) -> ( ( ps /\ ch ) -> A. x ( ps /\ ch ) ) )
12	11	alimi 1384	. . . 4 |- ( A. x ( ( ps -> A. x ps ) /\ ( ch -> A. x ch ) ) -> A. x ( ( ps /\ ch ) -> A. x ( ps /\ ch ) ) )
13	8, 12	sylbi 119	. . 3 |- ( ( F/ x ps /\ F/ x ch ) -> A. x ( ( ps /\ ch ) -> A. x ( ps /\ ch ) ) )
14	3, 13	syl 14	. 2 |- ( ph -> A. x ( ( ps /\ ch ) -> A. x ( ps /\ ch ) ) )
15		df-nf 1390	. 2 |- ( F/ x ( ps /\ ch ) <-> A. x ( ( ps /\ ch ) -> A. x ( ps /\ ch ) ) )
16	14, 15	sylibr 132	1 |- ( ph -> F/ x ( ps /\ ch ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   A.wal 1282   F/wnf 1389

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-5 1376  ax-gen 1378

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-nf 1390

This theorem is referenced by:  nf3and  1501  nfbid  1520  nfsbxy  1859  nfsbxyt  1860  nfeld  2234  nfrexdxy  2399  nfreudxy  2527  nfifd  3376  nfriotadxy  5496  bdsepnft  10678