Theorem nn2ge 8071

Description: There exists a positive integer greater than or equal to any two others. (Contributed by NM, 18-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nn2ge	|- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> E. x e. NN ( A <_ x /\ B <_ x ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem nn2ge

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnaddcl 8059	. 2 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( A + B ) e. NN )
2		0red 7120	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> 0 e. RR )
3		nnre 8046	. . . . 5 |- ( B e. NN -> B e. RR )
4	3	adantl 271	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> B e. RR )
5		nngt0 8064	. . . . 5 |- ( B e. NN -> 0 < B )
6	5	adantl 271	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> 0 < B )
7	2, 4, 6	ltled 7228	. . 3 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> 0 <_ B )
8		nnre 8046	. . . . 5 |- ( A e. NN -> A e. RR )
9	8	adantr 270	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> A e. RR )
10	9, 4	addge01d 7633	. . 3 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( 0 <_ B <-> A <_ ( A + B ) ) )
11	7, 10	mpbid 145	. 2 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> A <_ ( A + B ) )
12		nngt0 8064	. . . . 5 |- ( A e. NN -> 0 < A )
13	12	adantr 270	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> 0 < A )
14	2, 9, 13	ltled 7228	. . 3 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> 0 <_ A )
15	4, 9	addge02d 7634	. . 3 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( 0 <_ A <-> B <_ ( A + B ) ) )
16	14, 15	mpbid 145	. 2 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> B <_ ( A + B ) )
17		breq2 3789	. . . 4 |- ( x = ( A + B ) -> ( A <_ x <-> A <_ ( A + B ) ) )
18		breq2 3789	. . . 4 |- ( x = ( A + B ) -> ( B <_ x <-> B <_ ( A + B ) ) )
19	17, 18	anbi12d 456	. . 3 |- ( x = ( A + B ) -> ( ( A <_ x /\ B <_ x ) <-> ( A <_ ( A + B ) /\ B <_ ( A + B ) ) ) )
20	19	rspcev 2701	. 2 |- ( ( ( A + B ) e. NN /\ ( A <_ ( A + B ) /\ B <_ ( A + B ) ) ) -> E. x e. NN ( A <_ x /\ B <_ x ) )
21	1, 11, 16, 20	syl12anc 1167	1 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> E. x e. NN ( A <_ x /\ B <_ x ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   = wceq 1284   e. wcel 1433   E.wrex 2349   class class class wbr 3785  (class class class)co 5532   RRcr 6980   0cc0 6981   + caddc 6984   < clt 7153   <_ cle 7154   NNcn 8039

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-addcom 7076  ax-addass 7078  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-ltadd 7092

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-rab 2357  df-v 2603  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-br 3786  df-opab 3840  df-xp 4369  df-cnv 4371  df-iota 4887  df-fv 4930  df-ov 5535  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-inn 8040

This theorem is referenced by: (None)