Theorem nndir 6092

Description: Distributive law for natural numbers (right-distributivity). (Contributed by Jim Kingdon, 3-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nndir	|- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( ( A +o B ) .o C ) = ( ( A .o C ) +o ( B .o C ) ) )

Proof of Theorem nndir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nndi 6088	. . 3 |- ( ( C e. om /\ A e. om /\ B e. om ) -> ( C .o ( A +o B ) ) = ( ( C .o A ) +o ( C .o B ) ) )
2	1	3coml 1145	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( C .o ( A +o B ) ) = ( ( C .o A ) +o ( C .o B ) ) )
3		nnacl 6082	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A +o B ) e. om )
4		nnmcom 6091	. . . . 5 |- ( ( C e. om /\ ( A +o B ) e. om ) -> ( C .o ( A +o B ) ) = ( ( A +o B ) .o C ) )
5	3, 4	sylan2 280	. . . 4 |- ( ( C e. om /\ ( A e. om /\ B e. om ) ) -> ( C .o ( A +o B ) ) = ( ( A +o B ) .o C ) )
6	5	ancoms 264	. . 3 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ C e. om ) -> ( C .o ( A +o B ) ) = ( ( A +o B ) .o C ) )
7	6	3impa 1133	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( C .o ( A +o B ) ) = ( ( A +o B ) .o C ) )
8		nnmcom 6091	. . . . 5 |- ( ( C e. om /\ A e. om ) -> ( C .o A ) = ( A .o C ) )
9	8	ancoms 264	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ C e. om ) -> ( C .o A ) = ( A .o C ) )
10	9	3adant2 957	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( C .o A ) = ( A .o C ) )
11		nnmcom 6091	. . . . 5 |- ( ( C e. om /\ B e. om ) -> ( C .o B ) = ( B .o C ) )
12	11	ancoms 264	. . . 4 |- ( ( B e. om /\ C e. om ) -> ( C .o B ) = ( B .o C ) )
13	12	3adant1 956	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( C .o B ) = ( B .o C ) )
14	10, 13	oveq12d 5550	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( ( C .o A ) +o ( C .o B ) ) = ( ( A .o C ) +o ( B .o C ) ) )
15	2, 7, 14	3eqtr3d 2121	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( ( A +o B ) .o C ) = ( ( A .o C ) +o ( B .o C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   /\ w3a 919   = wceq 1284   e. wcel 1433   omcom 4331  (class class class)co 5532   +o coa 6021   .o comu 6022

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-irdg 5980  df-oadd 6028  df-omul 6029

This theorem is referenced by:  addassnq0  6652