Theorem ralnex 2358

Description: Relationship between restricted universal and existential quantifiers. (Contributed by NM, 21-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
ralnex	|- ( A. x e. A -. ph <-> -. E. x e. A ph )

Proof of Theorem ralnex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ral 2353	. 2 |- ( A. x e. A -. ph <-> A. x ( x e. A -> -. ph ) )
2		alinexa 1534	. . 3 |- ( A. x ( x e. A -> -. ph ) <-> -. E. x ( x e. A /\ ph ) )
3		df-rex 2354	. . 3 |- ( E. x e. A ph <-> E. x ( x e. A /\ ph ) )
4	2, 3	xchbinxr 640	. 2 |- ( A. x ( x e. A -> -. ph ) <-> -. E. x e. A ph )
5	1, 4	bitri 182	1 |- ( A. x e. A -. ph <-> -. E. x e. A ph )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   A.wal 1282   E.wex 1421   e. wcel 1433   A.wral 2348   E.wrex 2349

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-5 1376  ax-gen 1378  ax-ie2 1423

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1287  df-fal 1290  df-ral 2353  df-rex 2354

This theorem is referenced by:  rexalim  2361  ralinexa  2393  nrex  2453  nrexdv  2454  uni0b  3626  iindif2m  3745  supmoti  6406  suprnubex  8031  icc0r  8949  ioo0  9268  ico0  9270  ioc0  9271  prmind2  10502  sqrt2irr  10541