Theorem uni0b 3626

Description: The union of a set is empty iff the set is included in the singleton of the empty set. (Contributed by NM, 12-Sep-2004.)

Assertion

Ref	Expression
uni0b	|- ( U. A = (/) <-> A C_ { (/) } )

Proof of Theorem uni0b

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eq0 3266	. . . 4 |- ( x = (/) <-> A. y -. y e. x )
2	1	ralbii 2372	. . 3 |- ( A. x e. A x = (/) <-> A. x e. A A. y -. y e. x )
3		ralcom4 2621	. . 3 |- ( A. x e. A A. y -. y e. x <-> A. y A. x e. A -. y e. x )
4	2, 3	bitri 182	. 2 |- ( A. x e. A x = (/) <-> A. y A. x e. A -. y e. x )
5		dfss3 2989	. . 3 |- ( A C_ { (/) } <-> A. x e. A x e. { (/) } )
6		velsn 3415	. . . 4 |- ( x e. { (/) } <-> x = (/) )
7	6	ralbii 2372	. . 3 |- ( A. x e. A x e. { (/) } <-> A. x e. A x = (/) )
8	5, 7	bitri 182	. 2 |- ( A C_ { (/) } <-> A. x e. A x = (/) )
9		eluni2 3605	. . . . 5 |- ( y e. U. A <-> E. x e. A y e. x )
10	9	notbii 626	. . . 4 |- ( -. y e. U. A <-> -. E. x e. A y e. x )
11	10	albii 1399	. . 3 |- ( A. y -. y e. U. A <-> A. y -. E. x e. A y e. x )
12		eq0 3266	. . 3 |- ( U. A = (/) <-> A. y -. y e. U. A )
13		ralnex 2358	. . . 4 |- ( A. x e. A -. y e. x <-> -. E. x e. A y e. x )
14	13	albii 1399	. . 3 |- ( A. y A. x e. A -. y e. x <-> A. y -. E. x e. A y e. x )
15	11, 12, 14	3bitr4i 210	. 2 |- ( U. A = (/) <-> A. y A. x e. A -. y e. x )
16	4, 8, 15	3bitr4ri 211	1 |- ( U. A = (/) <-> A C_ { (/) } )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 103   A.wal 1282   = wceq 1284   e. wcel 1433   A.wral 2348   E.wrex 2349   C_ wss 2973   (/)c0 3251   {csn 3398   U.cuni 3601

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-dif 2975  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-sn 3404  df-uni 3602

This theorem is referenced by:  uni0c  3627  uni0  3628