Theorem raluz2 8667

Description: Restricted universal quantification in an upper set of integers. (Contributed by NM, 9-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
raluz2	|- ( A. n e. ( ZZ>= ` M ) ph <-> ( M e. ZZ -> A. n e. ZZ ( M <_ n -> ph ) ) )

Distinct variable group:   n, M

Allowed substitution hint:   ph( n)

Proof of Theorem raluz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 8625	. . . . . 6 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ n e. ZZ /\ M <_ n ) )
2		3anass 923	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ n e. ZZ /\ M <_ n ) <-> ( M e. ZZ /\ ( n e. ZZ /\ M <_ n ) ) )
3	1, 2	bitri 182	. . . . 5 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ ( n e. ZZ /\ M <_ n ) ) )
4	3	imbi1i 236	. . . 4 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> ph ) <-> ( ( M e. ZZ /\ ( n e. ZZ /\ M <_ n ) ) -> ph ) )
5		impexp 259	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ZZ /\ ( n e. ZZ /\ M <_ n ) ) -> ph ) <-> ( M e. ZZ -> ( ( n e. ZZ /\ M <_ n ) -> ph ) ) )
6		impexp 259	. . . . . . 7 |- ( ( ( n e. ZZ /\ M <_ n ) -> ph ) <-> ( n e. ZZ -> ( M <_ n -> ph ) ) )
7	6	imbi2i 224	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ -> ( ( n e. ZZ /\ M <_ n ) -> ph ) ) <-> ( M e. ZZ -> ( n e. ZZ -> ( M <_ n -> ph ) ) ) )
8	5, 7	bitri 182	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ZZ /\ ( n e. ZZ /\ M <_ n ) ) -> ph ) <-> ( M e. ZZ -> ( n e. ZZ -> ( M <_ n -> ph ) ) ) )
9		bi2.04 246	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ -> ( n e. ZZ -> ( M <_ n -> ph ) ) ) <-> ( n e. ZZ -> ( M e. ZZ -> ( M <_ n -> ph ) ) ) )
10	8, 9	bitri 182	. . . 4 |- ( ( ( M e. ZZ /\ ( n e. ZZ /\ M <_ n ) ) -> ph ) <-> ( n e. ZZ -> ( M e. ZZ -> ( M <_ n -> ph ) ) ) )
11	4, 10	bitri 182	. . 3 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> ph ) <-> ( n e. ZZ -> ( M e. ZZ -> ( M <_ n -> ph ) ) ) )
12	11	ralbii2 2376	. 2 |- ( A. n e. ( ZZ>= ` M ) ph <-> A. n e. ZZ ( M e. ZZ -> ( M <_ n -> ph ) ) )
13		r19.21v 2438	. 2 |- ( A. n e. ZZ ( M e. ZZ -> ( M <_ n -> ph ) ) <-> ( M e. ZZ -> A. n e. ZZ ( M <_ n -> ph ) ) )
14	12, 13	bitri 182	1 |- ( A. n e. ( ZZ>= ` M ) ph <-> ( M e. ZZ -> A. n e. ZZ ( M <_ n -> ph ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   /\ w3a 919   e. wcel 1433   A.wral 2348   class class class wbr 3785   ` cfv 4922   <_ cle 7154   ZZcz 8351   ZZ>=cuz 8619

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-fv 4930  df-ov 5535  df-neg 7282  df-z 8352  df-uz 8620

This theorem is referenced by: (None)