relcoi1 - Intuitionistic Logic Explorer

	Intuitionistic Logic Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > relcoi1		Unicode version

Theorem relcoi1 4869

Description: Composition with the identity relation restricted to a relation's field. (Contributed by FL, 8-May-2011.)

**Assertion**
Ref	Expression
relcoi1

**Proof of Theorem relcoi1**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		relfld 4866	. . 3
2		resundi 4643	. . . . 5
3		coeq2 4512	. . . . 5
4		coundi 4842	. . . . . . 7
5		resco 4845	. . . . . . . 8
6		coi1 4856	. . . . . . . . 9
7		reseq1 4624	. . . . . . . . . 10
8		resdm 4667	. . . . . . . . . . 11
9		eqtr 2098	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
10		eqtr 2098	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
11		resco 4845	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
12		uneq1 3119	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
13		reseq1 4624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
14		eqtr 2098	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$
15	14	uneq2d 3126	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$
16		eqtr 2098	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$
17		resss 4653	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
18		ssequn2 3145	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
19	17, 18	mpbi 143	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
20	6, 19	syl6reqr 2132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
21		eqeq1 2087	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
22	20, 21	syl5ibr 154	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
23	16, 22	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$
24	23	ex 113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
25	24	com3l 80	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
26	15, 25	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
27	26	ex 113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
28	27	eqcoms 2084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
29	28	com3l 80	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
30	13, 29	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
31	6, 30	mpcom 36	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
32	31	com3l 80	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
33	11, 12, 32	mpsyl 64	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
34	10, 33	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
35	34	ex 113	. . . . . . . . . . . . . . . 16
36	35	eqcoms 2084	. . . . . . . . . . . . . . 15
37	36	com3l 80	. . . . . . . . . . . . . 14
38	9, 37	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
39	38	ex 113	. . . . . . . . . . . 12
40	39	com3l 80	. . . . . . . . . . 11
41	8, 40	mpcom 36	. . . . . . . . . 10
42	7, 41	syl5com 29	. . . . . . . . 9
43	6, 42	mpcom 36	. . . . . . . 8
44	5, 43	mpi 15	. . . . . . 7
45	4, 44	syl5eq 2125	. . . . . 6
46		eqeq1 2087	. . . . . 6
47	45, 46	syl5ibr 154	. . . . 5
48	2, 3, 47	mp2b 8	. . . 4
49		reseq2 4625	. . . . . 6
50	49	coeq2d 4516	. . . . 5
51	50	eqeq1d 2089	. . . 4
52	48, 51	syl5ibr 154	. . 3
53	1, 52	mpcom 36	. 2
54	53, 6	eqtrd 2113	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 102

wceq 1284

cun 2971

wss 2973

cuni 3601

cid 4043

cdm 4363

crn 4364

cres 4365

ccom 4367

wrel 4368

This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 104 ax-ia2 105 ax-ia3 106 ax-io 662 ax-5 1376 ax-7 1377 ax-gen 1378 ax-ie1 1422 ax-ie2 1423 ax-8 1435 ax-10 1436 ax-11 1437 ax-i12 1438 ax-bndl 1439 ax-4 1440 ax-14 1445 ax-17 1459 ax-i9 1463 ax-ial 1467 ax-i5r 1468 ax-ext 2063 ax-sep 3896 ax-pow 3948 ax-pr 3964

This theorem depends on definitions: df-bi 115 df-3an 921 df-tru 1287 df-nf 1390 df-sb 1686 df-eu 1944 df-mo 1945 df-clab 2068 df-cleq 2074 df-clel 2077 df-nfc 2208 df-ral 2353 df-rex 2354 df-v 2603 df-un 2977 df-in 2979 df-ss 2986 df-pw 3384 df-sn 3404 df-pr 3405 df-op 3407 df-uni 3602 df-br 3786 df-opab 3840 df-id 4048 df-xp 4369 df-rel 4370 df-cnv 4371 df-co 4372 df-dm 4373 df-rn 4374 df-res 4375

This theorem is referenced by: (None)

W3C validator