Theorem resqrexlem1arp 9891

Description: Lemma for resqrex 9912. 1 + A is a positive real (expressed in a way that will help apply iseqf 9444 and similar theorems). (Contributed by Jim Kingdon, 28-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlemex.seq	|- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) , RR+ )
resqrexlemex.a	|- ( ph -> A e. RR )
resqrexlemex.agt0	|- ( ph -> 0 <_ A )

Assertion

Ref	Expression
resqrexlem1arp	|- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( NN X. { ( 1 + A ) } ) ` N ) e. RR+ )

Distinct variable groups:   y, A, z   ph, y, z

Allowed substitution hints:   F( y, z)   N( y, z)

Proof of Theorem resqrexlem1arp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1red 7134	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> 1 e. RR )
2		resqrexlemex.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. RR )
3	2	adantr 270	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> A e. RR )
4	1, 3	readdcld 7148	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( 1 + A ) e. RR )
5		0lt1 7236	. . . . . 6 |- 0 < 1
6	5	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> 0 < 1 )
7		resqrexlemex.agt0	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 <_ A )
8	7	adantr 270	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> 0 <_ A )
9		addgtge0 7554	. . . . 5 |- ( ( ( 1 e. RR /\ A e. RR ) /\ ( 0 < 1 /\ 0 <_ A ) ) -> 0 < ( 1 + A ) )
10	1, 3, 6, 8, 9	syl22anc 1170	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> 0 < ( 1 + A ) )
11	4, 10	elrpd 8771	. . 3 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( 1 + A ) e. RR+ )
12		fvconst2g 5396	. . 3 |- ( ( ( 1 + A ) e. RR+ /\ N e. NN ) -> ( ( NN X. { ( 1 + A ) } ) ` N ) = ( 1 + A ) )
13	11, 12	sylancom 411	. 2 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( NN X. { ( 1 + A ) } ) ` N ) = ( 1 + A ) )
14	13, 11	eqeltrd 2155	1 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( ( NN X. { ( 1 + A ) } ) ` N ) e. RR+ )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   = wceq 1284   e. wcel 1433   {csn 3398   class class class wbr 3785   X. cxp 4361   ` cfv 4922  (class class class)co 5532   |-> cmpt2 5534   RRcr 6980   0cc0 6981   1c1 6982   + caddc 6984   < clt 7153   <_ cle 7154   / cdiv 7760   NNcn 8039   2c2 8089   RR+crp 8734   seqcseq 9431

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-addcom 7076  ax-addass 7078  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-ltadd 7092

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-fv 4930  df-ov 5535  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-rp 8735

This theorem is referenced by:  resqrexlemf  9893  resqrexlemf1  9894  resqrexlemfp1  9895