Theorem reu3 2782

Description: A way to express restricted uniqueness. (Contributed by NM, 24-Oct-2006.)

Assertion

Ref	Expression
reu3	|- ( E! x e. A ph <-> ( E. x e. A ph /\ E. y e. A A. x e. A ( ph -> x = y ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   ph, y

Allowed substitution hint:   ph( x)

Proof of Theorem reu3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reurex 2567	. . 3 |- ( E! x e. A ph -> E. x e. A ph )
2		reu6 2781	. . . 4 |- ( E! x e. A ph <-> E. y e. A A. x e. A ( ph <-> x = y ) )
3		bi1 116	. . . . . 6 |- ( ( ph <-> x = y ) -> ( ph -> x = y ) )
4	3	ralimi 2426	. . . . 5 |- ( A. x e. A ( ph <-> x = y ) -> A. x e. A ( ph -> x = y ) )
5	4	reximi 2458	. . . 4 |- ( E. y e. A A. x e. A ( ph <-> x = y ) -> E. y e. A A. x e. A ( ph -> x = y ) )
6	2, 5	sylbi 119	. . 3 |- ( E! x e. A ph -> E. y e. A A. x e. A ( ph -> x = y ) )
7	1, 6	jca 300	. 2 |- ( E! x e. A ph -> ( E. x e. A ph /\ E. y e. A A. x e. A ( ph -> x = y ) ) )
8		rexex 2410	. . . 4 |- ( E. y e. A A. x e. A ( ph -> x = y ) -> E. y A. x e. A ( ph -> x = y ) )
9	8	anim2i 334	. . 3 |- ( ( E. x e. A ph /\ E. y e. A A. x e. A ( ph -> x = y ) ) -> ( E. x e. A ph /\ E. y A. x e. A ( ph -> x = y ) ) )
10		nfv 1461	. . . . 5 |- F/ y ( x e. A /\ ph )
11	10	eu3 1987	. . . 4 |- ( E! x ( x e. A /\ ph ) <-> ( E. x ( x e. A /\ ph ) /\ E. y A. x ( ( x e. A /\ ph ) -> x = y ) ) )
12		df-reu 2355	. . . 4 |- ( E! x e. A ph <-> E! x ( x e. A /\ ph ) )
13		df-rex 2354	. . . . 5 |- ( E. x e. A ph <-> E. x ( x e. A /\ ph ) )
14		df-ral 2353	. . . . . . 7 |- ( A. x e. A ( ph -> x = y ) <-> A. x ( x e. A -> ( ph -> x = y ) ) )
15		impexp 259	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. A /\ ph ) -> x = y ) <-> ( x e. A -> ( ph -> x = y ) ) )
16	15	albii 1399	. . . . . . 7 |- ( A. x ( ( x e. A /\ ph ) -> x = y ) <-> A. x ( x e. A -> ( ph -> x = y ) ) )
17	14, 16	bitr4i 185	. . . . . 6 |- ( A. x e. A ( ph -> x = y ) <-> A. x ( ( x e. A /\ ph ) -> x = y ) )
18	17	exbii 1536	. . . . 5 |- ( E. y A. x e. A ( ph -> x = y ) <-> E. y A. x ( ( x e. A /\ ph ) -> x = y ) )
19	13, 18	anbi12i 447	. . . 4 |- ( ( E. x e. A ph /\ E. y A. x e. A ( ph -> x = y ) ) <-> ( E. x ( x e. A /\ ph ) /\ E. y A. x ( ( x e. A /\ ph ) -> x = y ) ) )
20	11, 12, 19	3bitr4i 210	. . 3 |- ( E! x e. A ph <-> ( E. x e. A ph /\ E. y A. x e. A ( ph -> x = y ) ) )
21	9, 20	sylibr 132	. 2 |- ( ( E. x e. A ph /\ E. y e. A A. x e. A ( ph -> x = y ) ) -> E! x e. A ph )
22	7, 21	impbii 124	1 |- ( E! x e. A ph <-> ( E. x e. A ph /\ E. y e. A A. x e. A ( ph -> x = y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   A.wal 1282   E.wex 1421   e. wcel 1433   E!weu 1941   A.wral 2348   E.wrex 2349   E!wreu 2350

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rmo 2356

This theorem is referenced by:  reu7  2787  bdreu  10646