Theorem rexanuz2 9877

Description: Combine two different upper integer properties into one. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
rexuz3.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )

Assertion

Ref	Expression
rexanuz2	|- ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ph /\ ps ) <-> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph /\ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) )

Distinct variable groups:   j, M   ph, j   j, k, Z   ps, j

Allowed substitution hints:   ph( k)   ps( k)   M( k)

Proof of Theorem rexanuz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 8624	. . . . 5 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
2		rexuz3.1	. . . . 5 |- Z = ( ZZ>= ` M )
3	1, 2	eleq2s 2173	. . . 4 |- ( j e. Z -> M e. ZZ )
4	3	a1d 22	. . 3 |- ( j e. Z -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ph /\ ps ) -> M e. ZZ ) )
5	4	rexlimiv 2471	. 2 |- ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ph /\ ps ) -> M e. ZZ )
6	3	a1d 22	. . . 4 |- ( j e. Z -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph -> M e. ZZ ) )
7	6	rexlimiv 2471	. . 3 |- ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph -> M e. ZZ )
8	7	adantr 270	. 2 |- ( ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph /\ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) -> M e. ZZ )
9	2	rexuz3 9876	. . 3 |- ( M e. ZZ -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ph /\ ps ) <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ph /\ ps ) ) )
10	2	rexuz3 9876	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph ) )
11	2	rexuz3 9876	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) )
12	10, 11	anbi12d 456	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph /\ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) <-> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph /\ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) ) )
13		rexanuz 9874	. . . 4 |- ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ph /\ ps ) <-> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph /\ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) )
14	12, 13	syl6rbbr 197	. . 3 |- ( M e. ZZ -> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ph /\ ps ) <-> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph /\ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) ) )
15	9, 14	bitrd 186	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ph /\ ps ) <-> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph /\ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) ) )
16	5, 8, 15	pm5.21nii 652	1 |- ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ph /\ ps ) <-> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ph /\ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ps ) )

Syntax hints:   /\ wa 102   <-> wb 103   = wceq 1284   e. wcel 1433   A.wral 2348   E.wrex 2349   ` cfv 4922   ZZcz 8351   ZZ>=cuz 8619

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-addcom 7076  ax-addass 7078  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-apti 7091  ax-pre-ltadd 7092

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-if 3352  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-inn 8040  df-n0 8289  df-z 8352  df-uz 8620

This theorem is referenced by:  recvguniq  9881  climuni  10132  2clim  10140  climcn2  10148