Theorem shftval4g 9725

Description: Value of a sequence shifted by -u A. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
shftval4g	|- ( ( F e. V /\ A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( F shift -u A ) ` B ) = ( F ` ( A + B ) ) )

Proof of Theorem shftval4g

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 5539	. . . . . 6 |- ( f = F -> ( f shift -u A ) = ( F shift -u A ) )
2	1	fveq1d 5200	. . . . 5 |- ( f = F -> ( ( f shift -u A ) ` B ) = ( ( F shift -u A ) ` B ) )
3		fveq1 5197	. . . . 5 |- ( f = F -> ( f ` ( A + B ) ) = ( F ` ( A + B ) ) )
4	2, 3	eqeq12d 2095	. . . 4 |- ( f = F -> ( ( ( f shift -u A ) ` B ) = ( f ` ( A + B ) ) <-> ( ( F shift -u A ) ` B ) = ( F ` ( A + B ) ) ) )
5	4	imbi2d 228	. . 3 |- ( f = F -> ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( f shift -u A ) ` B ) = ( f ` ( A + B ) ) ) <-> ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( F shift -u A ) ` B ) = ( F ` ( A + B ) ) ) ) )
6		vex 2604	. . . 4 |- f e. _V
7	6	shftval4 9716	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( f shift -u A ) ` B ) = ( f ` ( A + B ) ) )
8	5, 7	vtoclg 2658	. 2 |- ( F e. V -> ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( F shift -u A ) ` B ) = ( F ` ( A + B ) ) ) )
9	8	3impib 1136	1 |- ( ( F e. V /\ A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( F shift -u A ) ` B ) = ( F ` ( A + B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   /\ w3a 919   = wceq 1284   e. wcel 1433   ` cfv 4922  (class class class)co 5532   CCcc 6979   + caddc 6984   -ucneg 7280   shift cshi 9702

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-addcom 7076  ax-addass 7078  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-cnre 7087

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-sub 7281  df-neg 7282  df-shft 9703

This theorem is referenced by:  climshft2  10145