Theorem snnen2og 6345

Description: A singleton { A } is never equinumerous with the ordinal number 2. If A is a proper class, see snnen2oprc 6346. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
snnen2og	|- ( A e. V -> -. { A } ~~ 2o )

Proof of Theorem snnen2og

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 6116	. . 3 |- 1o e. om
2		php5 6344	. . 3 |- ( 1o e. om -> -. 1o ~~ suc 1o )
3	1, 2	ax-mp 7	. 2 |- -. 1o ~~ suc 1o
4		ensn1g 6300	. 2 |- ( A e. V -> { A } ~~ 1o )
5		df-2o 6025	. . . . 5 |- 2o = suc 1o
6	5	eqcomi 2085	. . . 4 |- suc 1o = 2o
7	6	breq2i 3793	. . 3 |- ( 1o ~~ suc 1o <-> 1o ~~ 2o )
8		ensymb 6283	. . . . 5 |- ( { A } ~~ 1o <-> 1o ~~ { A } )
9		entr 6287	. . . . . 6 |- ( ( 1o ~~ { A } /\ { A } ~~ 2o ) -> 1o ~~ 2o )
10	9	ex 113	. . . . 5 |- ( 1o ~~ { A } -> ( { A } ~~ 2o -> 1o ~~ 2o ) )
11	8, 10	sylbi 119	. . . 4 |- ( { A } ~~ 1o -> ( { A } ~~ 2o -> 1o ~~ 2o ) )
12	11	con3rr3 595	. . 3 |- ( -. 1o ~~ 2o -> ( { A } ~~ 1o -> -. { A } ~~ 2o ) )
13	7, 12	sylnbi 635	. 2 |- ( -. 1o ~~ suc 1o -> ( { A } ~~ 1o -> -. { A } ~~ 2o ) )
14	3, 4, 13	mpsyl 64	1 |- ( A e. V -> -. { A } ~~ 2o )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   e. wcel 1433   {csn 3398   class class class wbr 3785   suc csuc 4120   omcom 4331   1oc1o 6017   2oc2o 6018   ~~ cen 6242

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-ral 2353  df-rex 2354  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-br 3786  df-opab 3840  df-tr 3876  df-id 4048  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-1o 6024  df-2o 6025  df-er 6129  df-en 6245

This theorem is referenced by: (None)