Theorem dfss3 2989

Description: Alternate definition of subclass relationship. (Contributed by NM, 14-Oct-1999.)

Assertion

Ref	Expression
dfss3	|- ( A C_ B <-> A. x e. A x e. B )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem dfss3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfss2 2988	. 2 |- ( A C_ B <-> A. x ( x e. A -> x e. B ) )
2		df-ral 2353	. 2 |- ( A. x e. A x e. B <-> A. x ( x e. A -> x e. B ) )
3	1, 2	bitr4i 185	1 |- ( A C_ B <-> A. x e. A x e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 103   A.wal 1282   e. wcel 1433   A.wral 2348   C_ wss 2973

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-11 1437  ax-4 1440  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-ral 2353  df-in 2979  df-ss 2986

This theorem is referenced by:  ssrab  3072  eqsnm  3547  uni0b  3626  uni0c  3627  ssint  3652  ssiinf  3727  sspwuni  3760  dftr3  3879  tfis  4324  rninxp  4784  fnres  5035  eqfnfv3  5288  funimass3  5304  ffvresb  5349  tfrlemibxssdm  5964  bdss  10655