Theorem undif4 3306

Description: Distribute union over difference. (Contributed by NM, 17-May-1998.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 26-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
undif4	|- ( ( A i^i C ) = (/) -> ( A u. ( B \ C ) ) = ( ( A u. B ) \ C ) )

Proof of Theorem undif4

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm2.621 698	. . . . . . 7 |- ( ( x e. A -> -. x e. C ) -> ( ( x e. A \/ -. x e. C ) -> -. x e. C ) )
2		olc 664	. . . . . . 7 |- ( -. x e. C -> ( x e. A \/ -. x e. C ) )
3	1, 2	impbid1 140	. . . . . 6 |- ( ( x e. A -> -. x e. C ) -> ( ( x e. A \/ -. x e. C ) <-> -. x e. C ) )
4	3	anbi2d 451	. . . . 5 |- ( ( x e. A -> -. x e. C ) -> ( ( ( x e. A \/ x e. B ) /\ ( x e. A \/ -. x e. C ) ) <-> ( ( x e. A \/ x e. B ) /\ -. x e. C ) ) )
5		eldif 2982	. . . . . . 7 |- ( x e. ( B \ C ) <-> ( x e. B /\ -. x e. C ) )
6	5	orbi2i 711	. . . . . 6 |- ( ( x e. A \/ x e. ( B \ C ) ) <-> ( x e. A \/ ( x e. B /\ -. x e. C ) ) )
7		ordi 762	. . . . . 6 |- ( ( x e. A \/ ( x e. B /\ -. x e. C ) ) <-> ( ( x e. A \/ x e. B ) /\ ( x e. A \/ -. x e. C ) ) )
8	6, 7	bitri 182	. . . . 5 |- ( ( x e. A \/ x e. ( B \ C ) ) <-> ( ( x e. A \/ x e. B ) /\ ( x e. A \/ -. x e. C ) ) )
9		elun 3113	. . . . . 6 |- ( x e. ( A u. B ) <-> ( x e. A \/ x e. B ) )
10	9	anbi1i 445	. . . . 5 |- ( ( x e. ( A u. B ) /\ -. x e. C ) <-> ( ( x e. A \/ x e. B ) /\ -. x e. C ) )
11	4, 8, 10	3bitr4g 221	. . . 4 |- ( ( x e. A -> -. x e. C ) -> ( ( x e. A \/ x e. ( B \ C ) ) <-> ( x e. ( A u. B ) /\ -. x e. C ) ) )
12		elun 3113	. . . 4 |- ( x e. ( A u. ( B \ C ) ) <-> ( x e. A \/ x e. ( B \ C ) ) )
13		eldif 2982	. . . 4 |- ( x e. ( ( A u. B ) \ C ) <-> ( x e. ( A u. B ) /\ -. x e. C ) )
14	11, 12, 13	3bitr4g 221	. . 3 |- ( ( x e. A -> -. x e. C ) -> ( x e. ( A u. ( B \ C ) ) <-> x e. ( ( A u. B ) \ C ) ) )
15	14	alimi 1384	. 2 |- ( A. x ( x e. A -> -. x e. C ) -> A. x ( x e. ( A u. ( B \ C ) ) <-> x e. ( ( A u. B ) \ C ) ) )
16		disj1 3294	. 2 |- ( ( A i^i C ) = (/) <-> A. x ( x e. A -> -. x e. C ) )
17		dfcleq 2075	. 2 |- ( ( A u. ( B \ C ) ) = ( ( A u. B ) \ C ) <-> A. x ( x e. ( A u. ( B \ C ) ) <-> x e. ( ( A u. B ) \ C ) ) )
18	15, 16, 17	3imtr4i 199	1 |- ( ( A i^i C ) = (/) -> ( A u. ( B \ C ) ) = ( ( A u. B ) \ C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   \/ wo 661   A.wal 1282   = wceq 1284   e. wcel 1433   \ cdif 2970   u. cun 2971   i^i cin 2972   (/)c0 3251

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-v 2603  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-nul 3252

This theorem is referenced by:  phplem1  6338