Theorem bj-nnord 10753

Description: A natural number is an ordinal. Constructive proof of nnord 4352. Can also be proved from bj-nnelon 10754 if the latter is proved from bj-omssonALT 10758. (Contributed by BJ, 27-Oct-2020.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bj-nnord	⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)

Proof of Theorem bj-nnord

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-nntrans2 10747	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → Tr 𝐴)
2		bj-omtrans 10751	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ⊆ ω)
3	2	sseld 2998	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ ω))
4		bj-nntrans2 10747	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ω → Tr 𝑥)
5	3, 4	syl6 33	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝑥 ∈ 𝐴 → Tr 𝑥))
6	5	alrimiv 1795	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → Tr 𝑥))
7		df-ral 2353	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 Tr 𝑥 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → Tr 𝑥))
8	6, 7	sylibr 132	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ∀𝑥 ∈ 𝐴 Tr 𝑥)
9		dford3 4122	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 ↔ (Tr 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 Tr 𝑥))
10	1, 8, 9	sylanbrc 408	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4  ∀wal 1282   ∈ wcel 1433  ∀wral 2348  Tr wtr 3875  Ord word 4117  ωcom 4331

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-nul 3904  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-bd0 10604  ax-bdor 10607  ax-bdal 10609  ax-bdex 10610  ax-bdeq 10611  ax-bdel 10612  ax-bdsb 10613  ax-bdsep 10675  ax-infvn 10736

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-rab 2357  df-v 2603  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-sn 3404  df-pr 3405  df-uni 3602  df-int 3637  df-tr 3876  df-iord 4121  df-suc 4126  df-iom 4332  df-bdc 10632  df-bj-ind 10722

This theorem is referenced by:  bj-nnelon  10754