Theorem diftpsn3 3527

Description: Removal of a singleton from an unordered triple. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Oct-2017.)

Assertion

Ref	Expression
diftpsn3	⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∖ {𝐶}) = {𝐴, 𝐵})

Proof of Theorem diftpsn3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-tp 3406	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶})
2	1	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}))
3	2	difeq1d 3089	. 2 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∖ {𝐶}) = (({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ∖ {𝐶}))
4		difundir 3217	. . 3 ⊢ (({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ∖ {𝐶}) = (({𝐴, 𝐵} ∖ {𝐶}) ∪ ({𝐶} ∖ {𝐶}))
5	4	a1i 9	. 2 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ∖ {𝐶}) = (({𝐴, 𝐵} ∖ {𝐶}) ∪ ({𝐶} ∖ {𝐶})))
6		df-pr 3405	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
7	6	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵}))
8	7	ineq1d 3166	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = (({𝐴} ∪ {𝐵}) ∩ {𝐶}))
9		incom 3158	. . . . . . . . 9 ⊢ (({𝐴} ∪ {𝐵}) ∩ {𝐶}) = ({𝐶} ∩ ({𝐴} ∪ {𝐵}))
10		indi 3211	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝐶} ∩ ({𝐴} ∪ {𝐵})) = (({𝐶} ∩ {𝐴}) ∪ ({𝐶} ∩ {𝐵}))
11	9, 10	eqtri 2101	. . . . . . . 8 ⊢ (({𝐴} ∪ {𝐵}) ∩ {𝐶}) = (({𝐶} ∩ {𝐴}) ∪ ({𝐶} ∩ {𝐵}))
12	11	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (({𝐴} ∪ {𝐵}) ∩ {𝐶}) = (({𝐶} ∩ {𝐴}) ∪ ({𝐶} ∩ {𝐵})))
13		necom 2329	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐶 ↔ 𝐶 ≠ 𝐴)
14		disjsn2 3455	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ≠ 𝐴 → ({𝐶} ∩ {𝐴}) = ∅)
15	13, 14	sylbi 119	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐶 → ({𝐶} ∩ {𝐴}) = ∅)
16	15	adantr 270	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ({𝐶} ∩ {𝐴}) = ∅)
17		necom 2329	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐶 ↔ 𝐶 ≠ 𝐵)
18		disjsn2 3455	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ≠ 𝐵 → ({𝐶} ∩ {𝐵}) = ∅)
19	17, 18	sylbi 119	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐶 → ({𝐶} ∩ {𝐵}) = ∅)
20	19	adantl 271	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ({𝐶} ∩ {𝐵}) = ∅)
21	16, 20	uneq12d 3127	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (({𝐶} ∩ {𝐴}) ∪ ({𝐶} ∩ {𝐵})) = (∅ ∪ ∅))
22		unidm 3115	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ ∪ ∅) = ∅
23	21, 22	syl6eq 2129	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (({𝐶} ∩ {𝐴}) ∪ ({𝐶} ∩ {𝐵})) = ∅)
24	8, 12, 23	3eqtrd 2117	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅)
25		disj3 3296	. . . . . 6 ⊢ (({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅ ↔ {𝐴, 𝐵} = ({𝐴, 𝐵} ∖ {𝐶}))
26	24, 25	sylib 120	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → {𝐴, 𝐵} = ({𝐴, 𝐵} ∖ {𝐶}))
27	26	eqcomd 2086	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ({𝐴, 𝐵} ∖ {𝐶}) = {𝐴, 𝐵})
28		difid 3312	. . . . 5 ⊢ ({𝐶} ∖ {𝐶}) = ∅
29	28	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ({𝐶} ∖ {𝐶}) = ∅)
30	27, 29	uneq12d 3127	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (({𝐴, 𝐵} ∖ {𝐶}) ∪ ({𝐶} ∖ {𝐶})) = ({𝐴, 𝐵} ∪ ∅))
31		un0 3278	. . 3 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∪ ∅) = {𝐴, 𝐵}
32	30, 31	syl6eq 2129	. 2 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (({𝐴, 𝐵} ∖ {𝐶}) ∪ ({𝐶} ∖ {𝐶})) = {𝐴, 𝐵})
33	3, 5, 32	3eqtrd 2117	1 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → ({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∖ {𝐶}) = {𝐴, 𝐵})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   = wceq 1284   ≠ wne 2245   ∖ cdif 2970   ∪ cun 2971   ∩ cin 2972  ∅c0 3251  {csn 3398  {cpr 3399  {ctp 3400

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-ral 2353  df-rab 2357  df-v 2603  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-sn 3404  df-pr 3405  df-tp 3406

This theorem is referenced by: (None)