Theorem eq0rdv 3288

Description: Deduction rule for equality to the empty set. (Contributed by NM, 11-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
eq0rdv.1	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
eq0rdv	⊢ (𝜑 → 𝐴 = ∅)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥

Proof of Theorem eq0rdv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eq0rdv.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)
2	1	pm2.21d 581	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ ∅))
3	2	ssrdv 3005	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ∅)
4		ss0 3284	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ∅ → 𝐴 = ∅)
5	3, 4	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1284   ∈ wcel 1433   ⊆ wss 2973  ∅c0 3251

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-v 2603  df-dif 2975  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252

This theorem is referenced by:  nfvres  5227  snon0  6387  fzdisj  9071