Theorem ssrdv 3005

Description: Deduction rule based on subclass definition. (Contributed by NM, 15-Nov-1995.)

Hypothesis

Ref	Expression
ssrdv.1	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
ssrdv	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥

Proof of Theorem ssrdv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrdv.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵))
2	1	alrimiv 1795	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵))
3		dfss2 2988	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵))
4	2, 3	sylibr 132	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4  ∀wal 1282   ∈ wcel 1433   ⊆ wss 2973

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-11 1437  ax-4 1440  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-in 2979  df-ss 2986

This theorem is referenced by:  sscon  3106  ssdif  3107  unss1  3141  ssrin  3191  eq0rdv  3288  uniss  3622  intss1  3651  intmin  3656  intssunim  3658  iunss1  3689  iinss1  3690  ss2iun  3693  ssiun  3720  ssiun2  3721  iinss  3729  iinss2  3730  trintssmOLD  3892  sspwb  3971  tron  4137  ssorduni  4231  ordsson  4236  ordpwsucss  4310  xpsspw  4468  relop  4504  dmss  4552  dmcosseq  4621  ssrnres  4783  chfnrn  5299  ffnfv  5344  f1imass  5434  fo1stresm  5808  fo2ndresm  5809  fo2ndf  5868  reldmtpos  5891  smoiun  5939  tfrlemi14d  5970  nndifsnid  6103  qsss  6188  fidifsnid  6356  en2eqpr  6380  onunsnss  6383  addnqprlemrl  6747  addnqprlemru  6748  addnqprlemfl  6749  addnqprlemfu  6750  mulnqprlemrl  6763  mulnqprlemru  6764  mulnqprlemfl  6765  mulnqprlemfu  6766  distrlem1prl  6772  distrlem1pru  6773  distrlem5prl  6776  distrlem5pru  6777  ltprordil  6779  ltexprlemfl  6799  ltexprlemrl  6800  ltexprlemfu  6801  ltexprlemru  6802  addcanprleml  6804  addcanprlemu  6805  recexprlem1ssl  6823  recexprlem1ssu  6824  recexprlemss1l  6825  recexprlemss1u  6826  aptiprleml  6829  aptiprlemu  6830  cauappcvgprlemladdfu  6844  cauappcvgprlemladdfl  6845  cauappcvgprlemladdru  6846  cauappcvgprlemladdrl  6847  caucvgprlemladdfu  6867  caucvgprlemladdrl  6868  peano5uzti  8455  uzss  8639  ixxdisj  8926  ixxss1  8927  ixxss2  8928  ixxss12  8929  iocssre  8976  icossre  8977  iccssre  8978  icodisj  9014  fzss1  9081  fzss2  9082  fzoss1  9180  fzosplit  9186  fzouzsplit  9188  ssfzo12bi  9234  frecuzrdgfn  9414  ovshftex  9707