Theorem funssfv 5220

Description: The value of a member of the domain of a subclass of a function. (Contributed by NM, 15-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
funssfv	⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐺 ⊆ 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐺) → (𝐹‘𝐴) = (𝐺‘𝐴))

Proof of Theorem funssfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvres 5219	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝐺 → ((𝐹 ↾ dom 𝐺)‘𝐴) = (𝐹‘𝐴))
2	1	eqcomd 2086	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝐺 → (𝐹‘𝐴) = ((𝐹 ↾ dom 𝐺)‘𝐴))
3		funssres 4962	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐺 ⊆ 𝐹) → (𝐹 ↾ dom 𝐺) = 𝐺)
4	3	fveq1d 5200	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐺 ⊆ 𝐹) → ((𝐹 ↾ dom 𝐺)‘𝐴) = (𝐺‘𝐴))
5	2, 4	sylan9eqr 2135	. 2 ⊢ (((Fun 𝐹 ∧ 𝐺 ⊆ 𝐹) ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐺) → (𝐹‘𝐴) = (𝐺‘𝐴))
6	5	3impa 1133	1 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐺 ⊆ 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐺) → (𝐹‘𝐴) = (𝐺‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ∧ w3a 919   = wceq 1284   ∈ wcel 1433   ⊆ wss 2973  dom cdm 4363   ↾ cres 4365  Fun wfun 4916  ‘cfv 4922

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-opab 3840  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-res 4375  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fv 4930

This theorem is referenced by:  tfrlem9  5958  tfrlemiubacc  5967  ac6sfi  6379