Theorem ge0p1rp 8765

Description: A nonnegative number plus one is a positive number. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ge0p1rp	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴 + 1) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem ge0p1rp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2re 7244	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
2	1	adantr 270	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
3		0red 7120	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
4		simpl 107	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
5		simpr 108	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 ≤ 𝐴)
6		ltp1 7922	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < (𝐴 + 1))
7	6	adantr 270	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 < (𝐴 + 1))
8	3, 4, 2, 5, 7	lelttrd 7234	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 < (𝐴 + 1))
9		elrp 8736	. 2 ⊢ ((𝐴 + 1) ∈ ℝ+ ↔ ((𝐴 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 1)))
10	2, 8, 9	sylanbrc 408	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴 + 1) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ∈ wcel 1433   class class class wbr 3785  (class class class)co 5532  ℝcr 6980  0cc0 6981  1c1 6982   + caddc 6984   < clt 7153   ≤ cle 7154  ℝ⁺crp 8734

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-addcom 7076  ax-addass 7078  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-ltadd 7092

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-rab 2357  df-v 2603  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-opab 3840  df-xp 4369  df-cnv 4371  df-iota 4887  df-fv 4930  df-ov 5535  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-rp 8735

This theorem is referenced by:  ge0p1rpd  8804