Theorem nfand 1500

Description: If in a context 𝑥 is not free in 𝜓 and 𝜒, it is not free in (𝜓 ∧ 𝜒). (Contributed by Mario Carneiro, 7-Oct-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nfand.1	⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥𝜓)
nfand.2	⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥𝜒)

Assertion

Ref	Expression
nfand	⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥(𝜓 ∧ 𝜒))

Proof of Theorem nfand

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfand.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥𝜓)
2		nfand.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥𝜒)
3	1, 2	jca 300	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Ⅎ𝑥𝜓 ∧ Ⅎ𝑥𝜒))
4		df-nf 1390	. . . . . 6 ⊢ (Ⅎ𝑥𝜓 ↔ ∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓))
5		df-nf 1390	. . . . . 6 ⊢ (Ⅎ𝑥𝜒 ↔ ∀𝑥(𝜒 → ∀𝑥𝜒))
6	4, 5	anbi12i 447	. . . . 5 ⊢ ((Ⅎ𝑥𝜓 ∧ Ⅎ𝑥𝜒) ↔ (∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓) ∧ ∀𝑥(𝜒 → ∀𝑥𝜒)))
7		19.26 1410	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥((𝜓 → ∀𝑥𝜓) ∧ (𝜒 → ∀𝑥𝜒)) ↔ (∀𝑥(𝜓 → ∀𝑥𝜓) ∧ ∀𝑥(𝜒 → ∀𝑥𝜒)))
8	6, 7	bitr4i 185	. . . 4 ⊢ ((Ⅎ𝑥𝜓 ∧ Ⅎ𝑥𝜒) ↔ ∀𝑥((𝜓 → ∀𝑥𝜓) ∧ (𝜒 → ∀𝑥𝜒)))
9		prth 336	. . . . . 6 ⊢ (((𝜓 → ∀𝑥𝜓) ∧ (𝜒 → ∀𝑥𝜒)) → ((𝜓 ∧ 𝜒) → (∀𝑥𝜓 ∧ ∀𝑥𝜒)))
10		19.26 1410	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥(𝜓 ∧ 𝜒) ↔ (∀𝑥𝜓 ∧ ∀𝑥𝜒))
11	9, 10	syl6ibr 160	. . . . 5 ⊢ (((𝜓 → ∀𝑥𝜓) ∧ (𝜒 → ∀𝑥𝜒)) → ((𝜓 ∧ 𝜒) → ∀𝑥(𝜓 ∧ 𝜒)))
12	11	alimi 1384	. . . 4 ⊢ (∀𝑥((𝜓 → ∀𝑥𝜓) ∧ (𝜒 → ∀𝑥𝜒)) → ∀𝑥((𝜓 ∧ 𝜒) → ∀𝑥(𝜓 ∧ 𝜒)))
13	8, 12	sylbi 119	. . 3 ⊢ ((Ⅎ𝑥𝜓 ∧ Ⅎ𝑥𝜒) → ∀𝑥((𝜓 ∧ 𝜒) → ∀𝑥(𝜓 ∧ 𝜒)))
14	3, 13	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥((𝜓 ∧ 𝜒) → ∀𝑥(𝜓 ∧ 𝜒)))
15		df-nf 1390	. 2 ⊢ (Ⅎ𝑥(𝜓 ∧ 𝜒) ↔ ∀𝑥((𝜓 ∧ 𝜒) → ∀𝑥(𝜓 ∧ 𝜒)))
16	14, 15	sylibr 132	1 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑥(𝜓 ∧ 𝜒))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102  ∀wal 1282  Ⅎwnf 1389

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-5 1376  ax-gen 1378

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-nf 1390

This theorem is referenced by:  nf3and  1501  nfbid  1520  nfsbxy  1859  nfsbxyt  1860  nfeld  2234  nfrexdxy  2399  nfreudxy  2527  nfifd  3376  nfriotadxy  5496  bdsepnft  10678