Theorem ordsucss 4248

Description: The successor of an element of an ordinal class is a subset of it. (Contributed by NM, 21-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
ordsucss	⊢ (Ord 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 → suc 𝐴 ⊆ 𝐵))

Proof of Theorem ordsucss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordtr 4133	. 2 ⊢ (Ord 𝐵 → Tr 𝐵)
2		trss 3884	. . . . 5 ⊢ (Tr 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐴 ⊆ 𝐵))
3		snssi 3529	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → {𝐴} ⊆ 𝐵)
4	3	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (Tr 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 → {𝐴} ⊆ 𝐵))
5	2, 4	jcad 301	. . . 4 ⊢ (Tr 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ {𝐴} ⊆ 𝐵)))
6		unss 3146	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ {𝐴} ⊆ 𝐵) ↔ (𝐴 ∪ {𝐴}) ⊆ 𝐵)
7	5, 6	syl6ib 159	. . 3 ⊢ (Tr 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴 ∪ {𝐴}) ⊆ 𝐵))
8		df-suc 4126	. . . 4 ⊢ suc 𝐴 = (𝐴 ∪ {𝐴})
9	8	sseq1i 3023	. . 3 ⊢ (suc 𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ∪ {𝐴}) ⊆ 𝐵)
10	7, 9	syl6ibr 160	. 2 ⊢ (Tr 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 → suc 𝐴 ⊆ 𝐵))
11	1, 10	syl 14	1 ⊢ (Ord 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 → suc 𝐴 ⊆ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ∈ wcel 1433   ∪ cun 2971   ⊆ wss 2973  {csn 3398  Tr wtr 3875  Ord word 4117  suc csuc 4120

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-v 2603  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-sn 3404  df-uni 3602  df-tr 3876  df-iord 4121  df-suc 4126

This theorem is referenced by:  ordelsuc  4249  tfrlemibfn  5965  sucinc2  6049  nndomo  6350  prarloclemn  6689