Theorem prarloclemn 6689

Description: Subtracting two from a positive integer. Lemma for prarloc 6693. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prarloclemn	⊢ ((𝑁 ∈ N ∧ 1𝑜 <N 𝑁) → ∃𝑥 ∈ ω (2𝑜 +𝑜 𝑥) = 𝑁)

Distinct variable group:   𝑥,𝑁

Proof of Theorem prarloclemn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 107	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ N ∧ 1𝑜 <N 𝑁) → 𝑁 ∈ N)
2		1pi 6505	. . . . 5 ⊢ 1𝑜 ∈ N
3		ltpiord 6509	. . . . 5 ⊢ ((1𝑜 ∈ N ∧ 𝑁 ∈ N) → (1𝑜 <N 𝑁 ↔ 1𝑜 ∈ 𝑁))
4	2, 3	mpan 414	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ N → (1𝑜 <N 𝑁 ↔ 1𝑜 ∈ 𝑁))
5	4	biimpa 290	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ N ∧ 1𝑜 <N 𝑁) → 1𝑜 ∈ 𝑁)
6		piord 6501	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ N → Ord 𝑁)
7		ordsucss 4248	. . . 4 ⊢ (Ord 𝑁 → (1𝑜 ∈ 𝑁 → suc 1𝑜 ⊆ 𝑁))
8	6, 7	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ N → (1𝑜 ∈ 𝑁 → suc 1𝑜 ⊆ 𝑁))
9	1, 5, 8	sylc 61	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ N ∧ 1𝑜 <N 𝑁) → suc 1𝑜 ⊆ 𝑁)
10		df-2o 6025	. . . 4 ⊢ 2𝑜 = suc 1𝑜
11	10	sseq1i 3023	. . 3 ⊢ (2𝑜 ⊆ 𝑁 ↔ suc 1𝑜 ⊆ 𝑁)
12		pinn 6499	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ N → 𝑁 ∈ ω)
13		2onn 6117	. . . . . 6 ⊢ 2𝑜 ∈ ω
14		nnawordex 6124	. . . . . 6 ⊢ ((2𝑜 ∈ ω ∧ 𝑁 ∈ ω) → (2𝑜 ⊆ 𝑁 ↔ ∃𝑥 ∈ ω (2𝑜 +𝑜 𝑥) = 𝑁))
15	13, 14	mpan 414	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ω → (2𝑜 ⊆ 𝑁 ↔ ∃𝑥 ∈ ω (2𝑜 +𝑜 𝑥) = 𝑁))
16	12, 15	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ N → (2𝑜 ⊆ 𝑁 ↔ ∃𝑥 ∈ ω (2𝑜 +𝑜 𝑥) = 𝑁))
17	16	adantr 270	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ N ∧ 1𝑜 <N 𝑁) → (2𝑜 ⊆ 𝑁 ↔ ∃𝑥 ∈ ω (2𝑜 +𝑜 𝑥) = 𝑁))
18	11, 17	syl5bbr 192	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ N ∧ 1𝑜 <N 𝑁) → (suc 1𝑜 ⊆ 𝑁 ↔ ∃𝑥 ∈ ω (2𝑜 +𝑜 𝑥) = 𝑁))
19	9, 18	mpbid 145	1 ⊢ ((𝑁 ∈ N ∧ 1𝑜 <N 𝑁) → ∃𝑥 ∈ ω (2𝑜 +𝑜 𝑥) = 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ↔ wb 103   = wceq 1284   ∈ wcel 1433  ∃wrex 2349   ⊆ wss 2973   class class class wbr 3785  Ord word 4117  suc csuc 4120  ωcom 4331  (class class class)co 5532  1_𝑜c1o 6017  2_𝑜c2o 6018   +_𝑜 coa 6021  Ncnpi 6462   <_N clti 6465

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-eprel 4044  df-id 4048  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-irdg 5980  df-1o 6024  df-2o 6025  df-oadd 6028  df-ni 6494  df-lti 6497

This theorem is referenced by:  prarloclem5  6690