Theorem peano5set 10735

Description: Version of peano5 4339 when ω ∩ 𝐴 is assumed to be a set, allowing a proof from the core axioms of CZF. (Contributed by BJ, 19-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
peano5set	⊢ ((ω ∩ 𝐴) ∈ 𝑉 → ((∅ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝑥 ∈ 𝐴 → suc 𝑥 ∈ 𝐴)) → ω ⊆ 𝐴))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem peano5set

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-omind 10729	. . . . 5 ⊢ Ind ω
2		bj-indind 10727	. . . . 5 ⊢ ((Ind ω ∧ (∅ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝑥 ∈ 𝐴 → suc 𝑥 ∈ 𝐴))) → Ind (ω ∩ 𝐴))
3	1, 2	mpan 414	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝑥 ∈ 𝐴 → suc 𝑥 ∈ 𝐴)) → Ind (ω ∩ 𝐴))
4		bj-omssind 10730	. . . . 5 ⊢ ((ω ∩ 𝐴) ∈ 𝑉 → (Ind (ω ∩ 𝐴) → ω ⊆ (ω ∩ 𝐴)))
5	4	imp 122	. . . 4 ⊢ (((ω ∩ 𝐴) ∈ 𝑉 ∧ Ind (ω ∩ 𝐴)) → ω ⊆ (ω ∩ 𝐴))
6	3, 5	sylan2 280	. . 3 ⊢ (((ω ∩ 𝐴) ∈ 𝑉 ∧ (∅ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝑥 ∈ 𝐴 → suc 𝑥 ∈ 𝐴))) → ω ⊆ (ω ∩ 𝐴))
7		inss2 3187	. . 3 ⊢ (ω ∩ 𝐴) ⊆ 𝐴
8	6, 7	syl6ss 3011	. 2 ⊢ (((ω ∩ 𝐴) ∈ 𝑉 ∧ (∅ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝑥 ∈ 𝐴 → suc 𝑥 ∈ 𝐴))) → ω ⊆ 𝐴)
9	8	ex 113	1 ⊢ ((ω ∩ 𝐴) ∈ 𝑉 → ((∅ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝑥 ∈ 𝐴 → suc 𝑥 ∈ 𝐴)) → ω ⊆ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ∈ wcel 1433  ∀wral 2348   ∩ cin 2972   ⊆ wss 2973  ∅c0 3251  suc csuc 4120  ωcom 4331  Ind wind 10721

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-nul 3904  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-bd0 10604  ax-bdor 10607  ax-bdex 10610  ax-bdeq 10611  ax-bdel 10612  ax-bdsb 10613  ax-bdsep 10675

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-rab 2357  df-v 2603  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-sn 3404  df-pr 3405  df-uni 3602  df-int 3637  df-suc 4126  df-iom 4332  df-bdc 10632  df-bj-ind 10722

This theorem is referenced by:  bdpeano5  10738  speano5  10739