Theorem r2exf 2384

Description: Double restricted existential quantification. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Oct-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
r2alf.1	⊢ Ⅎ𝑦𝐴

Assertion

Ref	Expression
r2exf	⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ↔ ∃𝑥∃𝑦((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝜑))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem r2exf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rex 2354	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑))
2		r2alf.1	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦𝐴
3	2	nfcri 2213	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑥 ∈ 𝐴
4	3	19.42 1618	. . . 4 ⊢ (∃𝑦(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)))
5		anass 393	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝜑) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)))
6	5	exbii 1536	. . . 4 ⊢ (∃𝑦((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝜑) ↔ ∃𝑦(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)))
7		df-rex 2354	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑))
8	7	anbi2i 444	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)))
9	4, 6, 8	3bitr4i 210	. . 3 ⊢ (∃𝑦((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝜑) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑))
10	9	exbii 1536	. 2 ⊢ (∃𝑥∃𝑦((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝜑) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑))
11	1, 10	bitr4i 185	1 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ↔ ∃𝑥∃𝑦((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝜑))

Syntax hints:   ∧ wa 102   ↔ wb 103  ∃wex 1421   ∈ wcel 1433  Ⅎwnfc 2206  ∃wrex 2349

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-nf 1390  df-sb 1686  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-rex 2354

This theorem is referenced by:  r2ex  2386  rexcomf  2516