Theorem rextpg 3446

Description: Convert a quantification over a triple to a disjunction. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ralprg.1	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
ralprg.2	⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝜑 ↔ 𝜒))
raltpg.3	⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝜑 ↔ 𝜃))

Assertion

Ref	Expression
rextpg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (∃𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶}𝜑 ↔ (𝜓 ∨ 𝜒 ∨ 𝜃)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝜓,𝑥   𝜒,𝑥   𝜃,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem rextpg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ralprg.1	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
2		ralprg.2	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝜑 ↔ 𝜒))
3	1, 2	rexprg 3444	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (∃𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}𝜑 ↔ (𝜓 ∨ 𝜒)))
4	3	orbi1d 737	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((∃𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}𝜑 ∨ ∃𝑥 ∈ {𝐶}𝜑) ↔ ((𝜓 ∨ 𝜒) ∨ ∃𝑥 ∈ {𝐶}𝜑)))
5		raltpg.3	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝜑 ↔ 𝜃))
6	5	rexsng 3434	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑋 → (∃𝑥 ∈ {𝐶}𝜑 ↔ 𝜃))
7	6	orbi2d 736	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑋 → (((𝜓 ∨ 𝜒) ∨ ∃𝑥 ∈ {𝐶}𝜑) ↔ ((𝜓 ∨ 𝜒) ∨ 𝜃)))
8	4, 7	sylan9bb 449	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ((∃𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}𝜑 ∨ ∃𝑥 ∈ {𝐶}𝜑) ↔ ((𝜓 ∨ 𝜒) ∨ 𝜃)))
9	8	3impa 1133	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ((∃𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}𝜑 ∨ ∃𝑥 ∈ {𝐶}𝜑) ↔ ((𝜓 ∨ 𝜒) ∨ 𝜃)))
10		df-tp 3406	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶})
11	10	rexeqi 2554	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶}𝜑 ↔ ∃𝑥 ∈ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶})𝜑)
12		rexun 3152	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶})𝜑 ↔ (∃𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}𝜑 ∨ ∃𝑥 ∈ {𝐶}𝜑))
13	11, 12	bitri 182	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶}𝜑 ↔ (∃𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}𝜑 ∨ ∃𝑥 ∈ {𝐶}𝜑))
14		df-3or 920	. 2 ⊢ ((𝜓 ∨ 𝜒 ∨ 𝜃) ↔ ((𝜓 ∨ 𝜒) ∨ 𝜃))
15	9, 13, 14	3bitr4g 221	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (∃𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶}𝜑 ↔ (𝜓 ∨ 𝜒 ∨ 𝜃)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ↔ wb 103   ∨ wo 661   ∨ w3o 918   ∧ w3a 919   = wceq 1284   ∈ wcel 1433  ∃wrex 2349   ∪ cun 2971  {csn 3398  {cpr 3399  {ctp 3400

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-rex 2354  df-v 2603  df-sbc 2816  df-un 2977  df-sn 3404  df-pr 3405  df-tp 3406

This theorem is referenced by:  rextp  3450