Theorem xrex 8910

Description: The set of extended reals exists. (Contributed by NM, 24-Dec-2006.)

Assertion

Ref	Expression
xrex	⊢ ℝ* ∈ V

Proof of Theorem xrex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xr 7157	. 2 ⊢ ℝ* = (ℝ ∪ {+∞, -∞})
2		reex 7107	. . 3 ⊢ ℝ ∈ V
3		pnfxr 8846	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
4		mnfxr 8848	. . . 4 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
5		prexg 3966	. . . 4 ⊢ ((+∞ ∈ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*) → {+∞, -∞} ∈ V)
6	3, 4, 5	mp2an 416	. . 3 ⊢ {+∞, -∞} ∈ V
7	2, 6	unex 4194	. 2 ⊢ (ℝ ∪ {+∞, -∞}) ∈ V
8	1, 7	eqeltri 2151	1 ⊢ ℝ* ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 1433  Vcvv 2601   ∪ cun 2971  {cpr 3399  ℝcr 6980  +∞cpnf 7150  -∞cmnf 7151  ℝ^*cxr 7152

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-rex 2354  df-v 2603  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-uni 3602  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157

This theorem is referenced by:  ixxval  8919  ixxf  8921  ixxex  8922