Theorem mnfxr 8848

Description: Minus infinity belongs to the set of extended reals. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.) (Proof shortened by Anthony Hart, 29-Aug-2011.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
mnfxr	⊢ -∞ ∈ ℝ*

Proof of Theorem mnfxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-mnf 7156	. . . . 5 ⊢ -∞ = 𝒫 +∞
2		pnfex 8847	. . . . . 6 ⊢ +∞ ∈ V
3	2	pwex 3953	. . . . 5 ⊢ 𝒫 +∞ ∈ V
4	1, 3	eqeltri 2151	. . . 4 ⊢ -∞ ∈ V
5	4	prid2 3499	. . 3 ⊢ -∞ ∈ {+∞, -∞}
6		elun2 3140	. . 3 ⊢ (-∞ ∈ {+∞, -∞} → -∞ ∈ (ℝ ∪ {+∞, -∞}))
7	5, 6	ax-mp 7	. 2 ⊢ -∞ ∈ (ℝ ∪ {+∞, -∞})
8		df-xr 7157	. 2 ⊢ ℝ* = (ℝ ∪ {+∞, -∞})
9	7, 8	eleqtrri 2154	1 ⊢ -∞ ∈ ℝ*

Syntax hints:   ∈ wcel 1433  Vcvv 2601   ∪ cun 2971  𝒫 cpw 3382  {cpr 3399  ℝcr 6980  +∞cpnf 7150  -∞cmnf 7151  ℝ^*cxr 7152

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-un 4188  ax-cnex 7067

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-rex 2354  df-v 2603  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-uni 3602  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157

This theorem is referenced by:  elxr  8850  xrltnr  8855  mnflt  8858  mnfltpnf  8860  nltmnf  8863  mnfle  8867  xrltnsym  8868  xrlttri3  8872  ngtmnft  8885  xrrebnd  8886  xrre2  8888  xrre3  8889  ge0gtmnf  8890  xnegcl  8899  xltnegi  8902  xrex  8910  elioc2  8959  elico2  8960  elicc2  8961  ioomax  8971  iccmax  8972  elioomnf  8991  unirnioo  8996