Theorem xrex 8910

Description: The set of extended reals exists. (Contributed by NM, 24-Dec-2006.)

Assertion

Ref	Expression
xrex	|- RR* e. _V

Proof of Theorem xrex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xr 7157	. 2 |- RR* = ( RR u. { +oo , -oo } )
2		reex 7107	. . 3 |- RR e. _V
3		pnfxr 8846	. . . 4 |- +oo e. RR*
4		mnfxr 8848	. . . 4 |- -oo e. RR*
5		prexg 3966	. . . 4 |- ( ( +oo e. RR* /\ -oo e. RR* ) -> { +oo , -oo } e. _V )
6	3, 4, 5	mp2an 416	. . 3 |- { +oo , -oo } e. _V
7	2, 6	unex 4194	. 2 |- ( RR u. { +oo , -oo } ) e. _V
8	1, 7	eqeltri 2151	1 |- RR* e. _V

Syntax hints:   e. wcel 1433   _Vcvv 2601   u. cun 2971   {cpr 3399   RRcr 6980   +oocpnf 7150   -oocmnf 7151   RR*cxr 7152

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-rex 2354  df-v 2603  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-uni 3602  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157

This theorem is referenced by:  ixxval  8919  ixxf  8921  ixxex  8922