Theorem 2reurex 41181

Description: Double restricted quantification with existential uniqueness, analogous to 2euex 2544. (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-Jun-2017.)

Assertion

Ref	Expression
2reurex	|- ( E! x e. A E. y e. B ph -> E. y e. B E! x e. A ph )

Distinct variable groups:   y, A   x, y   x, B

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   A( x)   B( y)

Proof of Theorem 2reurex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reu5 3159	. 2 |- ( E! x e. A E. y e. B ph <-> ( E. x e. A E. y e. B ph /\ E* x e. A E. y e. B ph ) )
2		rexcom 3099	. . . 4 |- ( E. x e. A E. y e. B ph <-> E. y e. B E. x e. A ph )
3		nfcv 2764	. . . . . 6 |- F/_ y A
4		nfre1 3005	. . . . . 6 |- F/ y E. y e. B ph
5	3, 4	nfrmo 3115	. . . . 5 |- F/ y E* x e. A E. y e. B ph
6		rspe 3003	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. B /\ ph ) -> E. y e. B ph )
7	6	ex 450	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. B -> ( ph -> E. y e. B ph ) )
8	7	ralrimivw 2967	. . . . . . . . 9 |- ( y e. B -> A. x e. A ( ph -> E. y e. B ph ) )
9		rmoim 3407	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. A ( ph -> E. y e. B ph ) -> ( E* x e. A E. y e. B ph -> E* x e. A ph ) )
10	8, 9	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( y e. B -> ( E* x e. A E. y e. B ph -> E* x e. A ph ) )
11	10	impcom 446	. . . . . . 7 |- ( ( E* x e. A E. y e. B ph /\ y e. B ) -> E* x e. A ph )
12		rmo5 3162	. . . . . . 7 |- ( E* x e. A ph <-> ( E. x e. A ph -> E! x e. A ph ) )
13	11, 12	sylib 208	. . . . . 6 |- ( ( E* x e. A E. y e. B ph /\ y e. B ) -> ( E. x e. A ph -> E! x e. A ph ) )
14	13	ex 450	. . . . 5 |- ( E* x e. A E. y e. B ph -> ( y e. B -> ( E. x e. A ph -> E! x e. A ph ) ) )
15	5, 14	reximdai 3012	. . . 4 |- ( E* x e. A E. y e. B ph -> ( E. y e. B E. x e. A ph -> E. y e. B E! x e. A ph ) )
16	2, 15	syl5bi 232	. . 3 |- ( E* x e. A E. y e. B ph -> ( E. x e. A E. y e. B ph -> E. y e. B E! x e. A ph ) )
17	16	impcom 446	. 2 |- ( ( E. x e. A E. y e. B ph /\ E* x e. A E. y e. B ph ) -> E. y e. B E! x e. A ph )
18	1, 17	sylbi 207	1 |- ( E! x e. A E. y e. B ph -> E. y e. B E! x e. A ph )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   E!wreu 2914   E*wrmo 2915

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920

This theorem is referenced by:  2rexreu  41185