Theorem 2rexsb 41170

Description: An equivalent expression for double restricted existence, analogous to rexsb 41168. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Jul-2017.)

Assertion

Ref	Expression
2rexsb	|- ( E. x e. A E. y e. B ph <-> E. z e. A E. w e. B A. x A. y ( ( x = z /\ y = w ) -> ph ) )

Distinct variable groups:   x, w, y, z, B   w, A, x, z   ph, z, w

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   A( y)

Proof of Theorem 2rexsb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexsb 41168	. . . 4 |- ( E. y e. B ph <-> E. w e. B A. y ( y = w -> ph ) )
2	1	rexbii 3041	. . 3 |- ( E. x e. A E. y e. B ph <-> E. x e. A E. w e. B A. y ( y = w -> ph ) )
3		rexcom 3099	. . 3 |- ( E. x e. A E. w e. B A. y ( y = w -> ph ) <-> E. w e. B E. x e. A A. y ( y = w -> ph ) )
4	2, 3	bitri 264	. 2 |- ( E. x e. A E. y e. B ph <-> E. w e. B E. x e. A A. y ( y = w -> ph ) )
5		rexsb 41168	. . . . 5 |- ( E. x e. A A. y ( y = w -> ph ) <-> E. z e. A A. x ( x = z -> A. y ( y = w -> ph ) ) )
6		impexp 462	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x = z /\ y = w ) -> ph ) <-> ( x = z -> ( y = w -> ph ) ) )
7	6	albii 1747	. . . . . . . 8 |- ( A. y ( ( x = z /\ y = w ) -> ph ) <-> A. y ( x = z -> ( y = w -> ph ) ) )
8		19.21v 1868	. . . . . . . 8 |- ( A. y ( x = z -> ( y = w -> ph ) ) <-> ( x = z -> A. y ( y = w -> ph ) ) )
9	7, 8	bitr2i 265	. . . . . . 7 |- ( ( x = z -> A. y ( y = w -> ph ) ) <-> A. y ( ( x = z /\ y = w ) -> ph ) )
10	9	albii 1747	. . . . . 6 |- ( A. x ( x = z -> A. y ( y = w -> ph ) ) <-> A. x A. y ( ( x = z /\ y = w ) -> ph ) )
11	10	rexbii 3041	. . . . 5 |- ( E. z e. A A. x ( x = z -> A. y ( y = w -> ph ) ) <-> E. z e. A A. x A. y ( ( x = z /\ y = w ) -> ph ) )
12	5, 11	bitri 264	. . . 4 |- ( E. x e. A A. y ( y = w -> ph ) <-> E. z e. A A. x A. y ( ( x = z /\ y = w ) -> ph ) )
13	12	rexbii 3041	. . 3 |- ( E. w e. B E. x e. A A. y ( y = w -> ph ) <-> E. w e. B E. z e. A A. x A. y ( ( x = z /\ y = w ) -> ph ) )
14		rexcom 3099	. . 3 |- ( E. w e. B E. z e. A A. x A. y ( ( x = z /\ y = w ) -> ph ) <-> E. z e. A E. w e. B A. x A. y ( ( x = z /\ y = w ) -> ph ) )
15	13, 14	bitri 264	. 2 |- ( E. w e. B E. x e. A A. y ( y = w -> ph ) <-> E. z e. A E. w e. B A. x A. y ( ( x = z /\ y = w ) -> ph ) )
16	4, 15	bitri 264	1 |- ( E. x e. A E. y e. B ph <-> E. z e. A E. w e. B A. x A. y ( ( x = z /\ y = w ) -> ph ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   E.wrex 2913

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918

This theorem is referenced by: (None)