Theorem rexrsb 41169

Description: An equivalent expression for restricted existence, analogous to exsb 2468. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Jul-2017.)

Assertion

Ref	Expression
rexrsb	|- ( E. x e. A ph <-> E. y e. A A. x e. A ( x = y -> ph ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   ph, y

Allowed substitution hint:   ph( x)

Proof of Theorem rexrsb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexsb 41168	. 2 |- ( E. x e. A ph <-> E. y e. A A. x ( x = y -> ph ) )
2		alral 2928	. . . 4 |- ( A. x ( x = y -> ph ) -> A. x e. A ( x = y -> ph ) )
3		df-ral 2917	. . . . . 6 |- ( A. x e. A ( x = y -> ph ) <-> A. x ( x e. A -> ( x = y -> ph ) ) )
4		19.27v 1908	. . . . . . . 8 |- ( A. x ( ( x e. A -> ( x = y -> ph ) ) /\ y e. A ) <-> ( A. x ( x e. A -> ( x = y -> ph ) ) /\ y e. A ) )
5		pm2.04 90	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. A -> ( x = y -> ph ) ) -> ( x = y -> ( x e. A -> ph ) ) )
6		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = y -> ( x e. A <-> y e. A ) )
7	6	biimprd 238	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> ( y e. A -> x e. A ) )
8		pm2.83 84	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x = y -> ( y e. A -> x e. A ) ) -> ( ( x = y -> ( x e. A -> ph ) ) -> ( x = y -> ( y e. A -> ph ) ) ) )
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = y -> ( x e. A -> ph ) ) -> ( x = y -> ( y e. A -> ph ) ) )
10		pm2.04 90	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = y -> ( y e. A -> ph ) ) -> ( y e. A -> ( x = y -> ph ) ) )
11	5, 9, 10	3syl 18	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. A -> ( x = y -> ph ) ) -> ( y e. A -> ( x = y -> ph ) ) )
12	11	imp 445	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. A -> ( x = y -> ph ) ) /\ y e. A ) -> ( x = y -> ph ) )
13	12	alimi 1739	. . . . . . . 8 |- ( A. x ( ( x e. A -> ( x = y -> ph ) ) /\ y e. A ) -> A. x ( x = y -> ph ) )
14	4, 13	sylbir 225	. . . . . . 7 |- ( ( A. x ( x e. A -> ( x = y -> ph ) ) /\ y e. A ) -> A. x ( x = y -> ph ) )
15	14	ex 450	. . . . . 6 |- ( A. x ( x e. A -> ( x = y -> ph ) ) -> ( y e. A -> A. x ( x = y -> ph ) ) )
16	3, 15	sylbi 207	. . . . 5 |- ( A. x e. A ( x = y -> ph ) -> ( y e. A -> A. x ( x = y -> ph ) ) )
17	16	com12 32	. . . 4 |- ( y e. A -> ( A. x e. A ( x = y -> ph ) -> A. x ( x = y -> ph ) ) )
18	2, 17	impbid2 216	. . 3 |- ( y e. A -> ( A. x ( x = y -> ph ) <-> A. x e. A ( x = y -> ph ) ) )
19	18	rexbiia 3040	. 2 |- ( E. y e. A A. x ( x = y -> ph ) <-> E. y e. A A. x e. A ( x = y -> ph ) )
20	1, 19	bitri 264	1 |- ( E. x e. A ph <-> E. y e. A A. x e. A ( x = y -> ph ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918

This theorem is referenced by:  2rexrsb  41171