Theorem afvres 41252

Description: The value of a restricted function, analogous to fvres 6207. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Jul-2017.)

Assertion

Ref	Expression
afvres	|- ( A e. B -> ( ( F |` B )''' A ) = ( F''' A ) )

Proof of Theorem afvres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3796	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( B i^i dom F ) <-> ( A e. B /\ A e. dom F ) )
2	1	biimpri 218	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. B /\ A e. dom F ) -> A e. ( B i^i dom F ) )
3		dmres 5419	. . . . . . . 8 |- dom ( F |` B ) = ( B i^i dom F )
4	2, 3	syl6eleqr 2712	. . . . . . 7 |- ( ( A e. B /\ A e. dom F ) -> A e. dom ( F |` B ) )
5	4	ex 450	. . . . . 6 |- ( A e. B -> ( A e. dom F -> A e. dom ( F |` B ) ) )
6		snssi 4339	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. B -> { A } C_ B )
7	6	resabs1d 5428	. . . . . . . . 9 |- ( A e. B -> ( ( F |` B ) |` { A } ) = ( F |` { A } ) )
8	7	eqcomd 2628	. . . . . . . 8 |- ( A e. B -> ( F |` { A } ) = ( ( F |` B ) |` { A } ) )
9	8	funeqd 5910	. . . . . . 7 |- ( A e. B -> ( Fun ( F |` { A } ) <-> Fun ( ( F |` B ) |` { A } ) ) )
10	9	biimpd 219	. . . . . 6 |- ( A e. B -> ( Fun ( F |` { A } ) -> Fun ( ( F |` B ) |` { A } ) ) )
11	5, 10	anim12d 586	. . . . 5 |- ( A e. B -> ( ( A e. dom F /\ Fun ( F |` { A } ) ) -> ( A e. dom ( F |` B ) /\ Fun ( ( F |` B ) |` { A } ) ) ) )
12	11	impcom 446	. . . 4 |- ( ( ( A e. dom F /\ Fun ( F |` { A } ) ) /\ A e. B ) -> ( A e. dom ( F |` B ) /\ Fun ( ( F |` B ) |` { A } ) ) )
13		df-dfat 41196	. . . . 5 |- ( ( F |` B ) defAt A <-> ( A e. dom ( F |` B ) /\ Fun ( ( F |` B ) |` { A } ) ) )
14		afvfundmfveq 41218	. . . . 5 |- ( ( F |` B ) defAt A -> ( ( F |` B )''' A ) = ( ( F |` B ) ` A ) )
15	13, 14	sylbir 225	. . . 4 |- ( ( A e. dom ( F |` B ) /\ Fun ( ( F |` B ) |` { A } ) ) -> ( ( F |` B )''' A ) = ( ( F |` B ) ` A ) )
16	12, 15	syl 17	. . 3 |- ( ( ( A e. dom F /\ Fun ( F |` { A } ) ) /\ A e. B ) -> ( ( F |` B )''' A ) = ( ( F |` B ) ` A ) )
17		fvres 6207	. . . 4 |- ( A e. B -> ( ( F |` B ) ` A ) = ( F ` A ) )
18	17	adantl 482	. . 3 |- ( ( ( A e. dom F /\ Fun ( F |` { A } ) ) /\ A e. B ) -> ( ( F |` B ) ` A ) = ( F ` A ) )
19		df-dfat 41196	. . . . . 6 |- ( F defAt A <-> ( A e. dom F /\ Fun ( F |` { A } ) ) )
20		afvfundmfveq 41218	. . . . . 6 |- ( F defAt A -> ( F''' A ) = ( F ` A ) )
21	19, 20	sylbir 225	. . . . 5 |- ( ( A e. dom F /\ Fun ( F |` { A } ) ) -> ( F''' A ) = ( F ` A ) )
22	21	eqcomd 2628	. . . 4 |- ( ( A e. dom F /\ Fun ( F |` { A } ) ) -> ( F ` A ) = ( F''' A ) )
23	22	adantr 481	. . 3 |- ( ( ( A e. dom F /\ Fun ( F |` { A } ) ) /\ A e. B ) -> ( F ` A ) = ( F''' A ) )
24	16, 18, 23	3eqtrd 2660	. 2 |- ( ( ( A e. dom F /\ Fun ( F |` { A } ) ) /\ A e. B ) -> ( ( F |` B )''' A ) = ( F''' A ) )
25		pm3.4 584	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. B /\ A e. dom F ) -> ( A e. B -> A e. dom F ) )
26	1, 25	sylbi 207	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( B i^i dom F ) -> ( A e. B -> A e. dom F ) )
27	26, 3	eleq2s 2719	. . . . . . . 8 |- ( A e. dom ( F |` B ) -> ( A e. B -> A e. dom F ) )
28	27	com12 32	. . . . . . 7 |- ( A e. B -> ( A e. dom ( F |` B ) -> A e. dom F ) )
29	7	funeqd 5910	. . . . . . . 8 |- ( A e. B -> ( Fun ( ( F |` B ) |` { A } ) <-> Fun ( F |` { A } ) ) )
30	29	biimpd 219	. . . . . . 7 |- ( A e. B -> ( Fun ( ( F |` B ) |` { A } ) -> Fun ( F |` { A } ) ) )
31	28, 30	anim12d 586	. . . . . 6 |- ( A e. B -> ( ( A e. dom ( F |` B ) /\ Fun ( ( F |` B ) |` { A } ) ) -> ( A e. dom F /\ Fun ( F |` { A } ) ) ) )
32	31	con3d 148	. . . . 5 |- ( A e. B -> ( -. ( A e. dom F /\ Fun ( F |` { A } ) ) -> -. ( A e. dom ( F |` B ) /\ Fun ( ( F |` B ) |` { A } ) ) ) )
33	32	impcom 446	. . . 4 |- ( ( -. ( A e. dom F /\ Fun ( F |` { A } ) ) /\ A e. B ) -> -. ( A e. dom ( F |` B ) /\ Fun ( ( F |` B ) |` { A } ) ) )
34		afvnfundmuv 41219	. . . . 5 |- ( -. ( F |` B ) defAt A -> ( ( F |` B )''' A ) = _V )
35	13, 34	sylnbir 321	. . . 4 |- ( -. ( A e. dom ( F |` B ) /\ Fun ( ( F |` B ) |` { A } ) ) -> ( ( F |` B )''' A ) = _V )
36	33, 35	syl 17	. . 3 |- ( ( -. ( A e. dom F /\ Fun ( F |` { A } ) ) /\ A e. B ) -> ( ( F |` B )''' A ) = _V )
37		afvnfundmuv 41219	. . . . . 6 |- ( -. F defAt A -> ( F''' A ) = _V )
38	19, 37	sylnbir 321	. . . . 5 |- ( -. ( A e. dom F /\ Fun ( F |` { A } ) ) -> ( F''' A ) = _V )
39	38	eqcomd 2628	. . . 4 |- ( -. ( A e. dom F /\ Fun ( F |` { A } ) ) -> _V = ( F''' A ) )
40	39	adantr 481	. . 3 |- ( ( -. ( A e. dom F /\ Fun ( F |` { A } ) ) /\ A e. B ) -> _V = ( F''' A ) )
41	36, 40	eqtrd 2656	. 2 |- ( ( -. ( A e. dom F /\ Fun ( F |` { A } ) ) /\ A e. B ) -> ( ( F |` B )''' A ) = ( F''' A ) )
42	24, 41	pm2.61ian 831	1 |- ( A e. B -> ( ( F |` B )''' A ) = ( F''' A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   {csn 4177   dom cdm 5114   |` cres 5116   Fun wfun 5882   ` cfv 5888   defAt wdfat 41193  '''cafv 41194

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-res 5126  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-dfat 41196  df-afv 41197

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