Theorem tz6.12-afv 41253

Description: Function value. Theorem 6.12(1) of [TakeutiZaring] p. 27, analogous to tz6.12 6211. (Contributed by Alexander van der Vekens, 29-Nov-2017.)

Assertion

Ref	Expression
tz6.12-afv	|- ( ( <. A , y >. e. F /\ E! y <. A , y >. e. F ) -> ( F''' A ) = y )

Distinct variable groups:   y, A   y, F

Proof of Theorem tz6.12-afv

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 473	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. _V /\ <. A , y >. e. F ) -> A e. _V )
2		vex 3203	. . . . . . . . 9 |- y e. _V
3	2	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. _V /\ <. A , y >. e. F ) -> y e. _V )
4		df-br 4654	. . . . . . . . . 10 |- ( A F y <-> <. A , y >. e. F )
5	4	biimpri 218	. . . . . . . . 9 |- ( <. A , y >. e. F -> A F y )
6	5	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. _V /\ <. A , y >. e. F ) -> A F y )
7		breldmg 5330	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. _V /\ y e. _V /\ A F y ) -> A e. dom F )
8	1, 3, 6, 7	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( A e. _V /\ <. A , y >. e. F ) -> A e. dom F )
9		simpl 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. dom F /\ E! y <. A , y >. e. F ) -> A e. dom F )
10		velsn 4193	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. { A } <-> x = A )
11		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A = x -> ( A F y <-> x F y ) )
12	4, 11	syl5bbr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A = x -> ( <. A , y >. e. F <-> x F y ) )
13	12	eqcoms 2630	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = A -> ( <. A , y >. e. F <-> x F y ) )
14	13	eubidv 2490	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = A -> ( E! y <. A , y >. e. F <-> E! y x F y ) )
15	14	biimpd 219	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = A -> ( E! y <. A , y >. e. F -> E! y x F y ) )
16	10, 15	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. { A } -> ( E! y <. A , y >. e. F -> E! y x F y ) )
17	16	com12 32	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E! y <. A , y >. e. F -> ( x e. { A } -> E! y x F y ) )
18	17	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. dom F /\ E! y <. A , y >. e. F ) -> ( x e. { A } -> E! y x F y ) )
19	18	ralrimiv 2965	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. dom F /\ E! y <. A , y >. e. F ) -> A. x e. { A } E! y x F y )
20		fnres 6007	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F |` { A } ) Fn { A } <-> A. x e. { A } E! y x F y )
21		fnfun 5988	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F |` { A } ) Fn { A } -> Fun ( F |` { A } ) )
22	20, 21	sylbir 225	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. { A } E! y x F y -> Fun ( F |` { A } ) )
23	19, 22	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. dom F /\ E! y <. A , y >. e. F ) -> Fun ( F |` { A } ) )
24	9, 23	jca 554	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. dom F /\ E! y <. A , y >. e. F ) -> ( A e. dom F /\ Fun ( F |` { A } ) ) )
25	24	ex 450	. . . . . . 7 |- ( A e. dom F -> ( E! y <. A , y >. e. F -> ( A e. dom F /\ Fun ( F |` { A } ) ) ) )
26	8, 25	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( A e. _V /\ <. A , y >. e. F ) -> ( E! y <. A , y >. e. F -> ( A e. dom F /\ Fun ( F |` { A } ) ) ) )
27	26	impr 649	. . . . 5 |- ( ( A e. _V /\ ( <. A , y >. e. F /\ E! y <. A , y >. e. F ) ) -> ( A e. dom F /\ Fun ( F |` { A } ) ) )
28		df-dfat 41196	. . . . . 6 |- ( F defAt A <-> ( A e. dom F /\ Fun ( F |` { A } ) ) )
29		afvfundmfveq 41218	. . . . . 6 |- ( F defAt A -> ( F''' A ) = ( F ` A ) )
30	28, 29	sylbir 225	. . . . 5 |- ( ( A e. dom F /\ Fun ( F |` { A } ) ) -> ( F''' A ) = ( F ` A ) )
31	27, 30	syl 17	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ ( <. A , y >. e. F /\ E! y <. A , y >. e. F ) ) -> ( F''' A ) = ( F ` A ) )
32		tz6.12 6211	. . . . 5 |- ( ( <. A , y >. e. F /\ E! y <. A , y >. e. F ) -> ( F ` A ) = y )
33	32	adantl 482	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ ( <. A , y >. e. F /\ E! y <. A , y >. e. F ) ) -> ( F ` A ) = y )
34	31, 33	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ( A e. _V /\ ( <. A , y >. e. F /\ E! y <. A , y >. e. F ) ) -> ( F''' A ) = y )
35	34	ex 450	. 2 |- ( A e. _V -> ( ( <. A , y >. e. F /\ E! y <. A , y >. e. F ) -> ( F''' A ) = y ) )
36		eu2ndop1stv 41202	. . . . 5 |- ( E! y <. A , y >. e. F -> A e. _V )
37	36	pm2.24d 147	. . . 4 |- ( E! y <. A , y >. e. F -> ( -. A e. _V -> ( F''' A ) = y ) )
38	37	adantl 482	. . 3 |- ( ( <. A , y >. e. F /\ E! y <. A , y >. e. F ) -> ( -. A e. _V -> ( F''' A ) = y ) )
39	38	com12 32	. 2 |- ( -. A e. _V -> ( ( <. A , y >. e. F /\ E! y <. A , y >. e. F ) -> ( F''' A ) = y ) )
40	35, 39	pm2.61i 176	1 |- ( ( <. A , y >. e. F /\ E! y <. A , y >. e. F ) -> ( F''' A ) = y )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   E!weu 2470   A.wral 2912   _Vcvv 3200   {csn 4177   <.cop 4183   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   |` cres 5116   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   ` cfv 5888   defAt wdfat 41193  '''cafv 41194

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-res 5126  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-fv 5896  df-dfat 41196  df-afv 41197

This theorem is referenced by:  tz6.12-1-afv  41254